38、利用分裂组合生成式扩展距离遗传图

利用分裂组合生成式扩展距离遗传图

在图论领域，距离遗传图有着重要的地位和广泛的应用。本文将介绍一种新的图类Gen(∗; P3, C3, C5)，它是距离遗传图的扩展，同时还会探讨该图类相关的算法问题。

1. 背景知识

距离遗传图由Howorka引入，其定义为每个连通诱导子图都是等距的图，即子图继承了整个图的距离函数。形式上，对于图G的每个连通诱导子图G′，以及G′中的任意顶点x和y，都有dG′(x, y) = dG(x, y)。

距离遗传图有多种应用，例如可以用于建模可能发生节点故障的通信网络。在这样的网络中，只要发送者和接收者仍然连通，任何消息都可以在不增加到达接收者路径长度的情况下传递。

距离遗传图有多种不同的特征描述，包括度量、禁止子图、循环/弦条件、层级/邻域条件和生成性质等。其中，生成性质在算法应用中最为有用，因为它使得研究人员能够高效地解决距离遗传图中的多个组合问题。

近年来，距离遗传图被推广到了k - 距离遗传图类。给定一个有理数k ≥ 1，如果对于图G的每个连通诱导子图G′，以及G′中的任意顶点x和y，都有dG′(x, y) ≤ k · dG(x, y)，则称图G是一个k - 距离遗传图。所有k - 距离遗传图的类用DH(k)表示。

这里有几个基本关系：DH(1)与距离遗传图类重合；对于任意k1 ≤ k2，有DH(k1) ⊆ DH(k2)；对于任意k ≥ 1，DH(k)是遗传的。

DH(k)类形成的层次结构是完全通用的，这意味着对于任意一个图G，都存在一个k′使得G ∈ DH(k′)。特别地，图G的拉伸数s(G)是使得G属于DH(t)的最小有理数t。

最初的动机是研