25、如何将图切割成多个部分：算法与复杂度分析

如何将图切割成多个部分：算法与复杂度分析

在图论领域，将图切割成多个部分以获得最大数量的组件是一个重要的问题。本文将探讨该问题在不同类型图中的复杂度和解决方案，包括分裂图、区间图、有界树宽图和平面图。

1. 问题概述与相关定理

在深入研究具体算法之前，我们先了解一些基本概念和相关定理。

• MAXINUM COMPONENTS 问题 ：目标是找到一个切割集 (S)，使得图 (G) 在移除 (S) 后得到的组件数量最大。
• 复杂度结果
  • 分裂图 ：当该问题限制在分裂图上时，它是 NP - 完全的且 W[1] - 困难的。而且，除非 (NP \subseteq \cap_{\epsilon > 0}BPTIME(2^{n^{\epsilon}}))，否则分裂图上不存在多项式时间近似方案（PTAS）。
  • 区间图 ：对于区间图 (G = (V, E)) 和整数 (k)，可以在 (O(n^2k)) 时间内找到 (\kappa(G, k))。
  • 有界树宽图 ：对于具有宽度至多为 (w) 的树分解的图 (G = (V, E)) 和整数 (k)，可以在 (O(nk^2(w + 1)^w)) 时间内找到所有 (0 \leq k’ \leq k) 的 (\kappa(G, k’))。

2. 平面图上的算法

接下