2、矩阵乘法复杂度的群论下界探究

矩阵乘法复杂度的群论下界探究

矩阵乘法在众多领域都有着广泛的应用，其复杂度的研究一直是计算科学中的重要课题。而群代数乘法的复杂度与矩阵乘法的复杂度密切相关，下面我们来深入探讨相关的理论和结论。

基础命题与定义

• 命题 1 ：设 (n_1, \cdots, n_t > 0) 且 (\alpha \geq 1)，则 (\sum_{\tau = 1}^{t} n_{\tau}^{\alpha} \leq (\sum_{\tau = 1}^{t} n_{\tau})^{\alpha})。该命题可由 (x^{\alpha})（(x \geq 0) 且 (\alpha \geq 1)）的凸性得出。
• 函数关系定义 ：对于单调增长的函数 (f(n)) 和 (g(n))，若对于每个 (\delta > 1)，有 (f(n) = O((g(n))^{\delta}))，则记为 (f(n) \preceq g(n))。同时，(G) 和 (G_i) 通常表示有限群，(#G) 表示群 (G) 的阶。

矩阵乘法复杂度相关定理

• 定理 3 ：设 (G = {G_1, G_2, \cdots}) 是一族有限群，且 (#G_i < #G_{i + 1})。假设 (k) 是代数闭域，且 (\text{char} k = 0) 或者对于每个 (i \geq 1)，(\text{char} k \nmid #G_i)。那么对于 (G \in G)，有 (rk k[G] \preceq (#G)^{\fra