群论与稀疏矩阵：如何确定

群论与稀疏矩阵：对称性分析框架

在群论与稀疏矩阵的结合中，核心是通过对称性分析确定矩阵的简化结构。以下是系统化的确定方法：

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步骤1：识别矩阵的对称群

设稀疏矩阵为 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，需确定其保持非零结构不变的变换群 $G$：

• 置换对称性：寻找置换矩阵 $P$ 满足 $PA{P}^T$ 保持相同稀疏模式
  即 $\forall (i,j),A_{ij}\ne 0⟺(PA{P}^T{)}_{ij}\ne 0$
• 连续对称性：若存在李群作用 $\rho :G\to GL(n)$ 使得 ρ(g)Aρ(g)−1\rho(g)A\rho(g)^{-1}