2、矩阵乘法复杂度的群论下界研究

矩阵乘法复杂度的群论下界研究

1. 基础概念与命题

在矩阵乘法复杂度的研究中，群代数乘法的复杂度与之密切相关。首先有一个基础命题：
- 命题 1 ：设 (n_1, \cdots, n_t > 0) 且 (\alpha \geq 1)，则 (\sum_{\tau = 1}^{t} n_{\tau}^{\alpha} \leq (\sum_{\tau = 1}^{t} n_{\tau})^{\alpha})。证明基于 (x^{\alpha})（(x \geq 0) 且 (\alpha \geq 1)）的凸性。

对于单调增长函数 (f(n)) 和 (g(n))，若对于每个 (\delta > 1)，(f(n) = O((g(n))^{\delta}))，则记为 (f(n) \preceq g(n))。这里 (G) 和 (G_i) 表示有限群，(#G) 表示群 (G) 的阶。

2. 矩阵乘法复杂度相关定理

• 定理 3 ：设 (G = {G_1, G_2, \cdots}) 是有限群族，(#G_i < #G_{i + 1})。假设 (k) 是代数闭域，且 (\text{char} k = 0) 或 (\text{char} k \nmid #G_i)（(i \geq 1)），则对于 (G \in G)，有 (rk k[G] \preceq (#G)^{\frac{\omega}{2}})，其中 (\omega) 是 (k) 上矩阵乘法的指数，且 (\omega \geq 2 \limsup_{n \to \infty} \frac{\log rk k[