单峰偏好与帕累托有效机制分析

1、考虑以下偏好概况。是否存在一个顺序O，使得所有六个选民相对于O是单峰的？请解释。移除一个选民，并找到一个顺序，使得剩余的偏好概况是单峰的。谁是中位选民？中位候选人是什么？选民L1的偏好：A 优于 E 优于 C 优于 B 优于 D；选民L2的偏好：A 优于 E 优于 C 优于 B 优于 D；选民L3的偏好：E 优于 A 优于 D 优于 C 优于 B；选民L4的偏好：E 优于 C 优于 B 优于 D 优于 A；选民L5的偏好：C 优于 B 优于 E 优于 D 优于 A；选民L6的偏好：D 优于 B 优于 C 优于 E 优于 A

判断是否存在顺序 $ O $ 使所有六个选民单峰，需依据 单峰偏好定义 ，即存在“峰值候选人”。若 $ x $ 在“峰值候选人”和 $ y $ 之间，则选民更偏好 $ x $。

• 可尝试不同顺序，但从现有偏好看较难找到这样的顺序。

移除一个选民使剩余概况单峰 ，可尝试移除 $ L6 $。

• 对于顺序 $ O = A\ E\ C\ B\ D $，$ L1、L2、L3、L4、L5 $ 是单峰的。

此时，需：

1. 先确定各选民峰值在顺序 $ O $ 中的位置，
2. 再找出中位数对应的选民为中位选民，
3. 该选民的峰值为中位候选人。

2、证明对于偏好分布L，所有帕累托有效结果的集合F_PAR(L)是马斯金单调的且没有否决权。并说明对于n ≥ 3的情况，F_PAR可以在纳什均衡中被实施的依据。

证明内容

马斯金单调性

证明 $ F_PAR(L) $ 是马斯金单调的，需依据马斯金单调性定义：

• 若 $ a \in F_PAR(L) $，
• 在 $ L’ $ 中所有选民仅将 $ a $ 在其排序中提升（其他候选人顺序可能改变），

需证明 $ a \in F_PA