CINTA 作业五

CINTA 作业五

1、请心算列举出群 Z10 的所有生成元。
$$Z_{10}的阶为10，\varphi (10)=4,即Z_{10}有4个生成元。由心算得Z_{10}的所有生成元是1、3、7、9.$$

2、群 Z_17^*有多少个生成元?已知 3 是其中一个生成元，请问 9 和 10 是否生成元
$$Z_{17}^{\ast }的阶为\varphi (17)=16,所以Z_{17}^{\ast }有\varphi (16)=8个生成元。$$

$$9=3^{2}mod17,因为gcd(2,16)\ne 1,故9不是生成元。$$

$$10=3^{3}mod17,因为gcd(3,16)=1,故10是生成元。$$

3、证明：如果群G没有非平凡子群，则群G是循环群。

证明：
G没有非平凡子群，即G的子集为{e}和G,任取G中任意一个非e元素g,生成循环群H={e,g1,g2...gk}。 G没有非平凡子群，即G的子集为\{e\}和G,任取G中任意一个非e元素g,生成循环群H=\{e,g^1,g^2...g^k\}。 G没有非平凡子群，即G的子集为{e}和G,任取G中任意一个非e元素g,生成循环群H={e,g1,g2...gk}。

因为g∈G且g≠e,所以gk∈G且gk≠e，即H是G的子集,又H≠{e},所以H=G。故G是循环群。 因为g\in G且g\neq e,所以g^k\in G且g^k\neq e，即H是G的子集,又H\neq \{e\},所以H=G。故G是循环群。 因为g∈G且g​=e,所以gk∈G且gk​=e，即H是G的子集,又H​={e},所以H=G。故G是循环群。

4、证明：有限循环群G中任意元素的阶都整除群G的阶

证明：

设群G = < g >是阶为n的循环群，h = g^k。由命题7.5得，ord(h) ==n/gcd(k,n)，所以n/ord(h) = gcd(k,n)，又因为gcd(k,n)一定为整数，得证