CINTA作业四

最新推荐文章于 2023-10-16 11:06:10 发布

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#线性代数

该博客详细证明了群论中的关键命题，包括元素等价性、指数运算性质、偶数阶群的二阶元存在性和子群的封闭性与逆元条件。通过实例演示了群的性质及其应用。

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CINTA作业四

1.命题6.6证明
设G为群，且a,b,c ∈G。如果ba = ca，则b = c；并且，如果ab = ac，则b = c

证：

因为G为群，且a,b,c ∈G,所以
$\exist a^{-1}∈G，使得a ·a^{-1} = e = a^{-1}·a\\$
又因为ba=ca,所以
$baa^{-1}=caa^{-1}即b=a$
同理因为ab=ac,所以
$a^{-1}ab=a^{-1}ac,即b=c$
2.命题6.7证明

证：

G是群，∀a,b ∈G，则

(1)
$\forall m,n\in Z，g^mg^n=g.g...g(m-1次群运算).g.g...g(n-1次群运算)=g.g...g(m+n-1次群运算)=g^{mn}$

(2)
$\forall m,n\in Z,(g^m)^n=g^m.g^m...g^m(n-1次群运算)=g^{m+m+...m}=g^{mn}$

(3)

3.证明对任意偶数阶群G，都存在g∈G，g不等于e且g^2=e

证：

因为群中任一阶大于2 的元素和它的逆元的阶相等，且当一个元素的阶大于2 时，其逆元和它本身不相等，即阶大于2的元素是成对的。所以偶数阶群中，除去成对的阶大于2的元素，剩下的只能是一阶元和二阶元，一阶元只有单位元一个，所以二阶元的个数为奇数个，所以对任意偶数阶群G存在二阶元。

4.命题6.8证明

群G的非空子集H是G的子群，当且仅当H不等于 ∅，且对任意a,b ∈H，ab^-1∈H

证明充分性：
$∈H,所以b^{-1}\in H,由封闭性可得ab^{-1}\in H$
证明必要性：
$因为H\neq \phi,且a,b\in H,ab^{-1}\in H.\\取任意a\in H,e=aa^{-1}\in H 。故单位元存在\\ 任取b\in H,有b^{-1}=eb^{-1}\in H。故逆元存在\\ 对任意a,b\in H,有b^{-1}\in H,ab=a(b^{-1})^{-1}\in H。故满足封闭性\\ 任取a,b,c\in H,(ab)c=a(bc)。结合律满足$
故H满足群公理

5.
$设G是群，对任意n∈N，i∈[0,n]，g_i∈G。证明g_0g_1...g_n的逆元是g_n^{-1}...g_1^{-1}g_0^{-1}.$
证：
$因为G是群，g_i∈G，所以g_ig_i^{-1}=e\\ 所以(g_0g_1...g_n)(g_n^{-1}...g_1^{-1}g_0^{-1})=g_0g_1...(g_ng_n^{-1})...g_1^{-1}g_0^{-1}=e\\ 故g_0g_1...g_n的逆元是g_n^{-1}...g_1^{-1}g_0^{-1}$