poj 1183 反正切函数的应用公式推导_arctan合并条件-优快云博客

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本文介绍了一个关于整数解最小值的问题及其求解方法。利用arctan的和公式，将问题转化为整数方程，通过枚举和因数分解的方法找到B+C的最小值。

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$A, B, C$ 都是整数，给出一个公式 $arctanA+arctanB=arctan(A+B1−A×B)arctanA+arctanB=arctan(\frac{A+B}{1-A\times B})$
现在给你 $arctan1A=arctan1B+arctan1Carctan\frac1 A=arctan\frac1 B+arctan\frac1C$ 输入 $A$ ，问 $B + C$ 的最小解

根据公式很容易能够得到 $arctan1A=arctanB+C1−B×Carctan\frac1A=arctan\frac{B+C}{1-B\times C}$ 根据函数单调性容易得到 $A B + A C + B C = 1$ 现在已知 $A$ ，我们要求 $B + C$ 的最小值
如果想提取出 $A$ 通过不等式得到最小值是错误的，因为在那样求出的最小值不是整数意义下的最小值，取等只有在 $B = C$ 时候才成立，这也是高中数学的一个容易陷入的误区
那么我们怎么找最小值呢？我们可以做这样一个变形 $(B−A)×(C−A)=1+A2(B-A)\times(C-A)=1+A^2$ 那么如果设 $m = B - A, n = C - A$ ，那么有 $mn=1+A^2$ ，因为都是整数，所以我们可以枚举所有 $1+A^2$ 的因数寻找 $B + C$ 的最小值

#include <iostream>
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#include <vector>
#include <cmath>
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#include <iomanip>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 2e5 + 100;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int a[MAXN];
typedef long long ll;
int main(){
    #ifdef LOCAL
        freopen("input.txt", "r", stdin);
        freopen("output.txt", "w", stdout);
    #endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    ll a;
    cin >> a;
    ll ans = 0x7fffffff;
    ll tmp = 1 + a * a;
    for(ll m=1;m<=a;m++){
        if(tmp % m == 0){
            ll n = tmp / m;
            ans = min(ans, m + a + n + a);
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}