开关问题（模板+高斯消元）

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本文介绍了一个经典的开关问题，探讨了如何通过构建异或方程组并利用高斯消元法来解决该问题，最终计算出达到指定状态的方法数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

开关问题

Time Limit: 1000MS		Memory Limit: 30000K
Total Submissions: 7771		Accepted: 3058

Description

有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

Input

输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。
每组测试数据的格式如下：
第一行一个数N（0 < N < 29）
第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。
第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。
接下来每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。

Output

如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it's impossible~!!” 不包括引号

Sample Input

Sample Output

4
Oh,it's impossible~!!

Hint

第一组数据的说明：
一共以下四种方法：
操作开关1
操作开关2
操作开关3
操作开关1、2、3 （不记顺序）

Source

LIANGLIANG@POJ

Description

Input

Output

如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it's impossible~!!” 不包括引号

Sample Input

Sample Output

4
Oh,it's impossible~!!

Hint

第一组数据的说明：
一共以下四种方法：
操作开关1
操作开关2
操作开关3
操作开关1、2、3 （不记顺序）

Source

LIANGLIANG@POJ

注意：题目中i和j说反了

每个灯可以控制自己和其他的一些灯，xi代表第i个灯是否操作，所以xi的值只会是0或1。

对每一个灯的来说，肯能会收几个灯的控制，如果第i个灯被第k个灯控制，那么xk的系数为1，否则为0,。结果如果变化为1，不变化为0，所以得到一个异或方程组。

求解这个异或方程组，进行高斯消元

异或方程组的高斯消元的方式，和不同的高斯消元大部分相同，但是不是用减，而是判断要消的那行如果是1，进行异或，否则不动。

通过高斯消元，可以判断出方程是否有解，和解的个数。

如本题中求出矩阵的自由元数num1个。所以这num1个值的取值对结果是没有影响的，又因为xi只能取0或1，所以方法数位2^num1

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;
int Map[30][30] , a[30] ;
void swap1(int p,int q,int n)
{
    int j , temp ;
    temp = a[p] ; a[p] = a[q] ; a[q] = temp ;
    for(j = 1 ; j <= n ; j++)
    {
        temp = Map[p][j] ; Map[p][j] = Map[q][j] ; Map[q][j] = temp ;
    }
    return ;
}
int solve(int n)
{
    int i , j , k , t = 1 , num1 = 0 ;
    for(i = 1 ; i <= n && t <= n ; i++)
    {
        for(j = i ; j <= n ; j++)
            if( Map[j][t] )
                break ;
        if(j == n+1)
        {
            t++ ;
            i-- ;
            num1++;
            continue ;
        }
        if( i != j )
            swap1(i,j,n) ;
        for(j = i+1 ; j <= n ; j++)
        {
            if( Map[j][t] == 0 ) continue ;
            for(k = t ; k <= n ; k++)
                    Map[j][k] = Map[i][k] ^ Map[j][k] ;
            a[j] = a[i] ^ a[j] ;
        }
        t++ ;
    }
    for( ; i <= n ; i++)
        if( a[i] == 1 )
            return -1 ;
    return num1 ;
}
int main()
{
    int t , n , i , j , x ;
    scanf("%d", &t) ;
    while( t-- )
    {
        memset(Map,0,sizeof(Map)) ;
        scanf("%d", &n) ;
        for(i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]) ;
            Map[i][i] = 1 ;
        }
        for(i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            scanf("%d", &x) ;
            a[i] = a[i]^x ;
        }
        int u , v ;
        while( scanf("%d %d", &v, &u) )
        {
            if( u == 0 && v == 0 ) break ;
            Map[u][v] = 1 ;
        }
        x = solve(n) ;
        if( x == -1 )
            printf("Oh,it's impossible~!!\n") ;
        else
            printf("%d\n", 1<<x) ;
    }
    return 0;
}

异或方程组的高斯消元模板：

//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
  int equ,var;
  int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
  int x[MAXN]; //解集
  int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
  int free_num;//自由变元的个数
  
  //返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
  int Gauss()
  {
      int max_r,col,k;
      free_num = 0;
      for(k = 0, col = 0 ; k < equ && col < var ; k++, col++)
      {
          max_r = k;
          for(int i = k+1;i < equ;i++)
          {
              if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
                  max_r = i;
          }
          if(a[max_r][col] == 0)
          {
              k--;
              free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
              continue;
          }
          if(max_r != k)
          {
              for(int j = col; j < var+1; j++)
                  swap(a[k][j],a[max_r][j]);
          }
          for(int i = k+1;i < equ;i++)
          {
              if(a[i][col] != 0)
              {
                 for(int j = col;j < var+1;j++)
                      a[i][j] ^= a[k][j];
              }
          }
      }
     for(int i = k;i < equ;i++)//进入此循环的条件：本身矩阵行大于列 或者 因为出现自由变元后使得非自由变元数比行数小
          if(a[i][col] != 0)//若等号右边是1则无解，因为等号左边已经消为0
              return -1;//无解
      if(k < var) return var-k;//自由变元个数
      //唯一解，回代
      for(int i = var-1; i >= 0;i--)
      {
          x[i] = a[i][var];
          for(int j = i+1;j < var;j++)
              x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
      }
      return 0;
  }

异或方程组的高斯消元模板：