多维高斯概率密度函数估计

多维高斯概率密度函数形式为$$f(x,\mu ,\Sigma )=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}|\Sigma {|}^{1/2}}{e}^{-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )}$$
其中 $x$ 和 $\mu$ 是 $d$ 维向量，$\Sigma$ 是 $d\times d$的矩阵，$\Sigma$ 和 $\mu$ 是待求参数。

设 { xi},i=1∼N\{x_i\}, i=1 \sim N{ xi​},i=1∼N 是符合该密度函数的 $N$ 个样本,那么我们可以利用最大似然法（Maxium Likelihood）求待定参数。目标函数为：E(μ,Σ)=∑i=1Nln⁡f(xi,μ,Σ)=−Nd2ln⁡(2π)−N2ln⁡∣Σ∣−12∑i=1N(xi−μ)TΣ−1(xi−μ)E(\mu,\Sigma)=\sum_{i=1}^N \ln f(x_i,\mu,\Sigma)=-\frac{Nd}{2}\ln (2\pi)-\frac{N}{2}\ln |\Sigma|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^T\Sigma^{-1}(x_i-\mu)E(μ,Σ)=i=1∑N​lnf(xi​,μ,Σ)=−2Nd​ln(2π)−<