Berlekamp-Massey算法

算法引入

现在我们已经有一种已知递推式快速求数列第$n$项的算法了。

现在问题转化成了如何求出一个数列的最短递推式。

于是就有了这篇介绍神奇的Berlekamp-Massey算法的blog。

我们的Berlekamp-Massey算法可以在$O(n^2)$的时间内求出长度为$n$的已知数列的最短递推式，再配合常系数齐次线性递推就可以快速求出数列的任意项。

现在给你一个数列，考虑如何构造出其最短递推式。

算法流程

对于一个$n$项的数列 A = { a 1 , a 2 , . . . , a n } A=\{a_1,a_2,...,a_n\} A={ a1​,a2​,...,an​}和另一个$m$项的数列 R = { r 1 , r 2 , . . . , r m } ( m ≤ n ) R=\{r_1,r_2,...,r_m\}(m\le n) R={ r1​,r2​,...,rm​}(m≤n)，当$\forall k>m$，都满足$a_k=\sum _{i=1}^m{r}_i{a}_{k-i}$时，我们称$R是$A的一个递推式，对于所有满足条件的$R$，我们将$m$最小的$R$称为$A$的最短线性递推式。

现在我们考虑用增量构造法构造一个$N$项的数列$A$的最短线性递推式$R$

假设我们当前处理到位置$n$， { a 1 , a 2 , . . . , a n − 1 } \{a_1,a_2,...,a_{n-1}\} { a1​,a2​,...,an−1​}的最短线性递推式为 { r 1 , r 2 , . . . , r m } \{r_1,r_2,...,r_m\} { r1​,r2​,...,rm​}，记第$i$次更改最短线性递推式为$R_i$，特别的， R 0 = { ∅ } , R c u r = { r 1 , r 2 , . . . , r m } R_0=\{\empty\},R_{cur}=\{r_1,r_2,...,r_m\} R0​={