2018.08.16 洛谷P1437 [HNOI2004]敲砖块（二维dp）

最新推荐文章于 2021-07-21 19:41:25 发布

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分类专栏： # 基础dp 文章标签： dp

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本文深入探讨了动态规划(DP)算法的一种优化方法，通过分析第i+1列的最优值与第i列的关系，提出从前一列状态推导当前列状态的策略。通过实例讲解了如何使用前缀和进行高效的状态转移，最终实现DP算法的优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门
看起来普通 $dp$ 像是有后效性的样子。。。
继续分析：如果我们第i+1列的最优值已经处理出来了，那么第i列的最优值就跟第i+1列没有关系了。
因为只要保证第i+1列至少挖到了第i-1行就行，如何保证？从第i+1列的第i-1行开始对第i列转移就行了，注意边界其实这题不难。
主要是要想到要从前一列的状态来推出当前列的状态。
事实上，如果我们用f[i][j][k]表示正在挖第i行j列的砖块，已经挖了k个，那么 $f[t][j+1][k-i](i-1\le t \le n-j)$ 是可以对 $f[i][j][k]$ 做出贡献的，不难想到从前者转移过来需要将第i列的第1~i行的砖块都挖掉，因此转移的时候记录一个前缀和用于转移就行了。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f 
using namespace std;
int n,K,a[55][55],f[55][55][3005],ans=0;
int main(){
    memset(f,-inf,sizeof(f)),scanf("%d%d",&n,&K),f[0][n+1][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n-i+1;++j)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int j=n;j;--j)
        for(int i=0,sum=0;i<=n-j+1;sum+=a[++i][j])
            for(int k=i;k<=K;++k)
                for(int t=max(0,i-1);t<=n-j;++t)
                    f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[t][j+1][k-i]+sum);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n-i+1;++j)
            ans=max(ans,f[i][j][K]);
    cout<<ans;
    return 0;
}