P数序列

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定义十进制中没有重复数字的正整数为P数，指定p数按升序排列所得序列为指定P序列；

试求指定m位P数的个数，并求出m位P序列的第n项；

输入正整数m（2<=m<=10）和n（2<=n），输出m位P数的个数，同时输出m位P序列的第n项（若n大于m位P数的个数，则输出提示信息）；

1.枚举设计：

（1）、枚举设计要点；

通过循环求得m位最小与最小的P数a、b，设置递增循环枚举a~b中的所有整数x，以确保序列为升序排序；

分离x的m个数字，并用数组f[k]统计数字k（0~9）的个数，判别：若f[k]>1（0~9），存在重复数字，返回；否则，f[k]<=1（0~9），不存在重复数字，x即为P数，用s统计其个数，并用变量z记录其中的第n个；

最后输出序列个数s和序列第n项z；

（2）、程序设计；

#include<stdio.h>
int main()
{
   int k,m,t,f[10];
   long a,b,n,s,w,x,z;
   printf("请输入m,n:");
   scanf("%d,%ld",&m,&n);
   a=10;
   b=98;
   for(k=3;k<=m;k++)
   {
      a=a*10+k-1;            /*a、b为m位最小与最大的P数*/
      b=b*10+10-k;
   }
   s=0;
   for(x=a;x<=b;x++)         /*枚举[a,b]中的每一个整数*/
   {
      w=x;
      for(k=0;k<=9;k++)
         f[k]=0;
      while(w>0)             /*分解x的各数字并分别累计*/
      {
         k=w%10;
         f[k]++;
         w=w/10;
      }
      for(t=0,k=0;k<=9;k++)
         if(f[k]>1)          /*测试是否有重复数字*/
         {
            t=1;
            break;
         }
      if(t==0)
      { 
         s++;                /*统计P数的个数*/
         if(n==s)            /*记录第n项*/
            z=x;
      }
   }
   if(s<n)
   {
      printf("n超过总项数!");
      return;
   }
   printf("%d位P序列共%ld项 \n",m,s);
   printf("序列第%d项为%ld \n",n,z);
}

（3）、程序运行示例及其注意事项：

请输入m,n:5,2017
5位P序列共27216项
序列第2017项为17023

以上枚举设计简单可行，但当m、n比较大时运行时间太长，有进一步改进与优化的必要；

2.程序的改进与优化：

（1）、优化设计要点；

1）、计算m位P数的个数；

显然m位P数的最高位可于1，2，……，9中取一个数字；

除最高位外其余的m-1为可于0~9中与最高位不同的其余9个数字中选m-1个，即为排列数A（9，m-1），存储在数组元素a[m-1]中；

除高二位外其余的m-2位可于0~9中与高二位不同的其余8个数字中选m-2个，即为排列数A（8，m-2），存储在数组元素a[m-2]中；

· · · · · ·

个位数字可于0~9中与高m-1位不同的11-m个数字中选1个，即为排列数A（11-m，1），存储在数组元素a[1]中；

显然m位P数的个数为9*a[m-1]；

2）、由a数组元素确定P序列的第n项的各个数字；

根据n中含c=n/a[m-1]个a[m-1]确定最高位数字，n=n%a[m-1]为确定下一位数字做准备；然后根据n中含c=n/a[m-2]个a[m-2]确定次高位的数字，n=n%a[m-2]为确定下一位数字做准备；

一般地，根据n中含c=n/a[j]确定从高位开始的第j位数字：

c=n/a[j]；n=n%a[j]；（j=m-1，m-2，……，0）；
c=(int)floor（n/a[j]）；n=fmod（n，a[j]）；

为方便计算，引入a[0]=1；，选择尚未选取的第c个为最低位数字；

3）、设置b数组，为避免重复选取数字提供顺利；

首先b[i]=1；（i=0，1，……，9）；

若已选取i作为某一位，则b[i]=0；，这样以后加b[j]和不增长，即在下一位数字选取时不可能选取i，避免了重复数字，这是P数的要求；

4）、特殊处理；

因最高位数字不能从0开始，故设置变量d：开始时d=1，以后均为d=0；

（2）、程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   int c,d,i,j,k,m,s,b[10];
   double n,t,a[10];
   printf("请输入m,n:");
   scanf("%d,%lf",&m,&n);
   for(k=0;k<=9;k++)
      b[k]=1;
   for(t=1,j=1;j<=m-1;j++)
   {
      t=t*(10+j-m);
      a[j]=t;
   }
   printf("%d位P序列共%.0f项 \n",m,9*a[m-1]);
   if(n>9*a[m-1])
   {
      printf("n超过总项数!\n");
      return;
   }
   else
      printf("序列第%.0f项为 ",n);
   a[0]=1;
   d=1;
   for(j=m-1;j>=0;j--)
   {
      c=(int)floor(n/a[j])+d;
      n=fmod(n,a[j]);
      if(n==0 && j>0)
      {
         c--;
         n=a[j];
      }
      s=0;
      i=-1;
      if(j>0)
      {
         while(s<=c)
         {
            i++;
            s+=b[i];
         }
         printf("%d",i);
         b[i]=0;
         d=0;
      }
      else
      {
         while(s<c)
         {
            i++;
            s+=b[i];
         }
         printf("%d \n",i);
      }
   }
}

（3）、程序运行示例及其注意事项：

请输入m,n:10,1234567
10位P序列共3265920项
序列第1234567项为 4369702158

当m比较大时，应用枚举很难完成序列的统计与确定，而应用优化设计来求解则要简明快捷得多；

枚举设计可在较小范围内验证优化设计是否准确；