守形数

若正整数n是它平方数的尾部，则称n为守形数，又称同构数

例如，6是其平方数36的尾部，76是其平方数5776的尾部，6与76都是守形数；

探讨搜索指定区间内的守形数，进而搜索指定n位守形数；

区间守形数

试探求指定区间 [x,y] 内的所有守形数；

1.说明：

对指定区间 [x,y] 内的每一个整数a（约定a>1），求出其平方数s；
计算a的位数w，同时计算 b=10^w，a的平方s的尾部 c=s%b；
比较整数a与其平方数的尾部c，若a=c，则输出守形数；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
int main()
{  
   long a,b,c,k,m,s,x,y;
   printf("请输入区间的上下限整数x，y:");
   scanf("%ld,%ld",&x,&y);
   m=0;
   for(a=x;a<=y;a++)
   {
      s=a*a;    /*计算a的平方数s*/
      b=1;k=a;
      while(k>0)
      {
         b=b*10;
         k=k/10;
      }
      c=s%b;   /*c为a的平方数s的尾部*/
      if(a==c)
      {
         m++;
         printf("%ld^2=%ld \n",a,s);
      }
   }
   printf("区间[%ld,%ld]中，共以上%ld个守形数。\n",x,y,m);
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入区间的上下限整数x，y:10,10000
25^2=625
76^2=5776
376^2=141376
625^2=390625
9376^2=87909376
区间[10,10000]中，共以上5个守形数。

n位守形数

以上程序设计搜索到 2个 2位守形数、2个 3位守形数、1个 4位守形数，守形数的个位数字为“5”或“6”；

试探索一般n位守形数；

1.说明：

为了求更多位数的守形数，可应用守形数的性质：一个m位守形数的尾部k（1<=k<=m-1）位数也是一个高位可能为“0”的守形数；

道理很简单：a是一个m位数，a的平方数尾部的k位仅由a的尾部k位决定而与a的其他位无关；

实施易知一位守形数有3个：1、5、6，则二位守形数的个位数字只可能是1、5、6这三个数字，根据这一思路，我们可应用递推求解；

设置数组 a[k] 存储守形数的第k位：守形数的个位数字a[1]选取d（1~9），a[k]（k>1）选取j（0~9），同时设置b数组存储计算平方的中间值，设置c数组存储计算守形数的平方值，利用 “竖式乘模拟” 计算平方数；
通过比较若有 a[i]=c[i]（i=1，2，……，k）成立，则k位守形数确立，继续递推下一位，直至n位打印输出；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
int main()
{
   int n,d,k,j,i,t,m,w,z,u,v,a[500],b[500],c[500];
   printf("请输入整数n:");
   scanf("%d",&n);
   for(d=1;d<=9;d++)
   {
      for(k=1;k<=499;k++)
      {
         a[k]=0;
         b[k]=0;
         c[k]=0;
      }
      a[1]=d;  /*给守形数个位数赋值*/
      for(k=2;k<=n;k++)
      {
         for(j=0;j<=9;j++)
         {
            a[k]=j;  /*探索守形数的第k位a（k）选数字j*/
            v=0;
            for(i=1;i<=k;i++)
               c[i]=0;
            for(i=1;i<=k;i++)
            {
               for(z=0,t=1;t<=k;t++)
               {
                  u=a[i]*a[t]+z;
                  z=u/10;
                  b[i+t-1]=u%10;  /*计算中间结果存于b数组*/
               }
               for(w=0,m=i;m<=k;m++)
               {
                  u=c[m]+b[m]+w;  /*计算平方存于c数组*/
                  w=u/10;
                  c[m]=u%10;
               }
            }
            for(i=1;i<=k;i++)
               if(a[i]!=c[i]) /*出现不同数字时继续，a[k]选下一个数字*/
                  v=1;
            if(v==0)
               break;
         }
      }
      if(v==0&&a[n]!=0)  /*输出n位守形数结果*/
      {
         printf("%d结尾的%d位守形数:",a[1],n);
         for(k=n;k>=1;k--)
            printf("%d",a[k]);
         printf("\n");
      }
   }
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入整数n:30
5结尾的30位守形数:106619977392256259918212890625
6结尾的30位守形数:893380022607743740081787109376

注意：以上结果中“5结尾的30位守形数”的第29位为“0”，如果输入n=29，程序运行结果中就没有5结尾的29位守形数。事实上“29位守形数”是存在的，只是其最高位为“0”而已。

• 变通：

更为明确地刻画出递推进程，建议把以上程序中“输出n位守形数结果”改为“输出k位守形数结果”，即在k循环内加入以下输出程序段：

if(v==0&&a[k]!=0)  /*输出k位守形数结果*/
{
   printf("%d结尾的%d位守形数:",a[1],k);
   for(j=k;j>=1;j--)
      printf("%d",a[j]);
   printf("\n");
}

请观察对应n=30的程序输出结果- -