解不等式之代数和不等式

代数和概念：数学用语。将数(实数)的加减法算式视为省略加号的几个有理数的和，称这个算式的结果为这几个有理数的代数和。

试解下列关于正整数n的代数和不等式：
d < 1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6+···±1/n
其中d为从键盘输入的正数，式中代数和表达式中的符号为两个“+”号后一个“-”。

1.说明：
式中符号为两个“+”号后一个“-”号，即分母能被3整出时为“-”。

2.程序设计：

方案一：

设置条件循环，每三项（包含二正一负）一起求和。若加到1/n+1/(n+1)-1/(n+2)后代数和s>d,退出循环，得一个区间解[n+1,∞]。

注意：
此时n还必须进行进一步检测，然后设置k（1~n）循环一项项求和，包括对n的检测，得离散解。

#include<stdio.h>
void main()
{
  long n,i;
  double s,d;
  printf("请输入正数d:");
    scanf("%lf",&d);
  printf("%lf<1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6+···±1/n的解:\n",d);
  n=1;
  s=0;
  while(1)
  {
    s=s+1/n+1/(n+1)-1/(n+2);
    if(s>d)
      break;
    n=n+3;
  }
  printf("n>=%ld\n",n+1);
  for(i=1;i<=n;i++)
  {
    if(i%3!=0)
      s=s+1/i;
    else
      s=s-1/i;
    if(s>d)
      printf("n=%ld\n",i);
  }
  getch();
}

方案二：

方案一的程序通过循环累加和判断可以得到区间和的下限，但离散解必须从头开始逐一试探才能够获得。
如果设置条件循环，首先对前两项求和（即3/2），然后从第三项开始每三项（包含一负二正）一起求和。若加到-1/n+1/(n+1)+1/(n+2)后代数和s>d，退出循环，得到第一个离散解n+2，且可以证明所有小于n+2的值都不是解。

注意：n+2只是第一个离散解，同时所有的n+2+3i（i=1,2,3……）至少都可以保证是离散解，对于区间解的下限还需要进一步检测。

为求区间解的下限，需要对第n+2项后的代数项进行逐项累加并检测项n+2+3i-1或者n+2+3i-2（i=1,2,3……）（由于项n+2+3i已经是离散解，因此并不需要对它们进行检测），直至s>d为止。这是所得的项n+2+3i-1或n+2+3i-2即为区间解的下限。

#include<stdio.h>
void main()
{
  long n,i;
  double s,d;
  printf("请输入正数d:");
    scanf("%lf",&d);
  printf("%lf<1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6+···±1/n的解：\n",d);
  n=3;
  s=3.0/2;
  while(1)
  {
    s=s-1.0/n+1.0/(n+1)+1.0/(n+2);
    if(s>d)
      break;
    n=n+3;
  }
  printf("n=%ld\n",n+2);
  i=n+2;
  while(1)
  {
    if((s=s-1.0/(++i))>d)
      break;
    if((s=s+1.0/(++i))>d)
      break;
    s=s+1.0/(++i);
    printf("n=%ld\n",i);
  }
  printf("n>=%ld\n",i);
  getch();
}

3.程序运行示例及其注意事项：
方案一：请输入正数d:5
5.000000<1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6+···±1/n的解:
n>=203939
n=203936
n=203938
方案二：请输入正数d:7
7.000000<1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6+···±1/n的解:
n=82273511
n>=82273513

注意：一个是离散解，后一个是区间解。特别要注意不要遗失离散解。
以上两个枚举法的循环次数取决于解n的上限，当输入的参数d越大时，n的上限也就越大，枚举的复杂度也就越高，求解也就变得越困难。由于数值过大，上述示例运行需要一定时间。
例如当d逐渐增加到大于7时，解值会迅速增长而变得非常大。甚至超出相应变量的范围或计算机的计算范围，这时就不可能得到不等式的解。

变式：把不等式中的“二正一负”的规律改变为“三正一负”，程序应该怎样修改？试求出修改后的不等式大于5的解。

由代数和的计算规律总结该不等式求解的一般规律。