14、傅里叶分析与波的知识解析

傅里叶分析与波的知识解析

1. 傅里叶分析学习目标

傅里叶变换是一个强大的工具，在许多物理领域研究平稳时变现象中发挥着重要作用，比如在声音的分析和合成中被广泛应用。不过，并非所有情况下傅里叶变换都适用，它更适合分析在采样时间内特征大致相同的信号，对于在采样时间内特征变化很大的瞬态信号，其频谱有时可能会产生误导。

1.1 变换类型及特点

• 连续函数变换 ：可积的时变连续函数能通过连续傅里叶变换转换为“频域图”，再通过逆傅里叶变换唯一地转换回原始状态。
• 离散函数变换 ：离散函数能通过离散傅里叶变换转换为“频域图”，同样可通过离散逆傅里叶变换唯一地转换回原始状态。

1.2 实际应用要点

• 整数处理与参数跟踪 ：在数学/数值实现傅里叶变换时，只涉及整数。我们必须手动跟踪采样时间和傅里叶频谱中元素的频率，还要考虑数值的归一化，因为不同系统处理方式不同。
• 频域图的构成 ：离散傅里叶变换中的频域图由复数组成，实部代表不同频率处的余弦贡献，虚部代表正弦贡献。复数的绝对值给出了相关频率处的贡献幅度，虚部与实部之比的反正切表示频率分量的相位。
• 实信号特性 ：对于实信号，傅里叶系数的后半部分是前半部分的复共轭，会出现“镜像”现象，因此通常只使用频谱的前半部分。
• 频率对应关系 ：在离散傅里叶变换中，数