10、数值方法与傅里叶分析入门

数值方法与傅里叶分析入门

数值方法

数值方法在解决各种物理问题中起着至关重要的作用。以下将介绍数值方法的相关知识，包括学习目标、练习题等内容。

学习目标

掌握数值方法后，应具备以下能力：
1. 了解二阶微分方程可等效为两个耦合的一阶微分方程。
2. 能用四阶龙格 - 库塔方法（RK4）数值求解二阶微分方程。
3. 解释为何数值方法比解析方法更能处理复杂物理情况，如非线性摩擦。
4. 指出可能导致数值计算失败的因素。
5. 详细解释四阶龙格 - 库塔方法通常比欧拉方法效果更好的原因。
6. 对使用数值求解方法的计算机程序进行合理测试，确保其正常运行。
7. 将数值方法应用于常微分方程或偏微分方程的积分实践中。
8. 具备编写相互交互的多函数计算机程序的实践经验，并能解释代码分区的目的。
9. 掌握故障排除技巧，了解避免在大部分代码编写完成后才进行全面故障排除的原则。
10. 知道如何整合程序文档和与计算值相关的参数。
11. 明白在修改程序时，以原程序原样另存为新名称的好处。

练习题

• 理解/讨论问题
  1. 为什么四阶龙格 - 库塔方法通常比欧拉方法效果更好？
  2. 图 4.7 展示了存在摩擦时单摆运动的计算结果。左图为位置（角度）随时间的变化，右图为角速度随位置（角度）的变化（相平面图）。上方两个图的初始条件是 t = 0 时单摆垂直向下且有小角速度；下方两个图初始条件相同，但初始角速度比上方情况大很多。解释这些图所反映的运动情