22、解析力学：从广义坐标到哈密顿原理

解析力学：从广义坐标到哈密顿原理

在研究机械系统的运动方程时，我们有多种方法。除了之前介绍的基于牛顿 - 欧拉方程的方法，解析力学提供了一种新的视角。解析力学通过极值问题来定义机械系统的运动方程，这其中涉及到广义坐标、泛函和变分法等重要概念。

1. 广义坐标

广义坐标是解析力学中的一个核心概念。对于一个机械系统，一组由 $N$ 个时间相关参数组成的集合 $q(t) = {q_1(t), q_2(t), \ldots, q_N(t)}^T$，如果系统中任意一点 $p$ 在惯性系 $\mathbb{X}$ 下的位置 $r_{\mathbb{X},p}(t)$ 能唯一地表示为 $q(t)$ 和时间 $t$ 的函数，即 $r_{\mathbb{X},p}(t) \colon= r_{\mathbb{X},p}(q_1(t), q_2(t), \ldots, q_N(t), t)$，那么这组参数就是该机械系统的广义坐标。这里的 $N$ 被称为系统的自由度。

需要注意的是，广义坐标要求是最小或独立的。也就是说，不能用其余坐标的子集来表示其中任何一个广义坐标。不过，有些作者并不强调这一点，还会引入冗余广义坐标。在本文中，广义坐标指的是最小且独立的集合。

广义坐标的表示方法会根据上下文有所不同。当讨论某一特定时刻 $t$ 时，用 $q(t) = {q_1(t), q_2(t), \ldots, q_N(t)}$；当将其视为时间的函数集合时，用 $q = {q_1, q_2, \ldots, q_N}^T$。

下面通过一个例子来加深对广义坐标的理解。假设有一个质点被限制在平面上运动，如图 1 所示。我们来证明该质点沿 $x_0$ 和 $y_0$ 方向的坐标