19、牛顿 - 欧拉方程及其在机械系统中的应用

牛顿 - 欧拉方程及其在机械系统中的应用

1. 牛顿 - 欧拉方程基础

牛顿定律适用于理想化为质点的物体。牛顿第一定律指出，在没有外力作用时，静止的物体保持静止，运动的物体沿直线做匀速运动。牛顿第二定律表明，作用在质点上的力之和等于质点线性动量的时间变化率。不过，这些定律是相对于惯性参考系中的观测而言的。

而机器人系统通常由质量空间分布的刚体组成，用集中质量或质点近似来创建机器人系统的合理近似有时可行，但很多时候并不适用。这时就需要用到欧拉运动定律来推广适用于具有分布质量的刚体的牛顿运动定律。

1.1 欧拉第一定律

欧拉第一定律指出，作用在刚体上的合力 $f$ 等于刚体线性动量 $p_{\mathbb{X}}$ 在惯性系 $\mathbb{X}$ 中的时间变化率，即：
$\frac{d}{dt}\big| {\mathbb{X}} p {\mathbb{X}} = f$

也可以表述为作用在刚体上的合力等于刚体质量乘以其质心在惯性系 $\mathbb{X}$ 中的加速度，即：
$M a_{\mathbb{X}, c} = f$

证明过程如下：
线性动量在惯性系 $\mathbb{X}$ 中的时间变化率为：
$\frac{d}{dt}\big| {\mathbb{X}} p {\mathbb{X}} = \frac{d}{dt}\big| {\mathbb{X}} \int v dm = \frac{d}{dt}\big| {\mathbb{X}} M v_{\mathbb{X}, c} = M a_{\mathbb