29、次短路径与快速边搜索问题解析

次短路径与快速边搜索问题解析

次短路径问题

在图论中，次短路径问题是一个重要的研究方向。我们先从证明两条路径的不相交性开始，为后续的算法和分析奠定基础。

路径不相交性证明

根据引理 3，因为 (y^∗ \in C(x))，所以从 (I_s(x)) 和 (y^∗) 分别到 (x) 存在两条不相交的路径。由此，我们可以得到一条从 (s) 出发，经过 (I_s(x)) 到达 (x)，再通过反向边从 (x) 到 (y^∗) 的简单路径 (Q_1)。又因为 (x \prec I_t(y^∗))，所以必然存在一条从 (y^∗) 到 (t) 且避开 (x) 的路径 (Q_2)。下面我们来证明 (Q_1) 和 (Q_2) 是不相交的。
假设 (p \neq y^∗) 是 (Q_1) 和 (Q_2) 的最后一个公共顶点，即 (Q_2) 中其他公共顶点都在 (p) 之前。由于 (p \in V(Q_2))，所以 (y^∗ \prec p)，又因为 (p \in V(Q_1))，所以 (p \prec x)，那么 (p \in C(x))。根据 (Q_2) 的定义以及 (p \prec x \prec I_t(y^∗))，从 (p) 到 (I_t(y^∗)) 存在两条不相交的路径，从而 (x \prec I_t(p))。所以 (g(x, p) \neq \infty) 且 (d(p, x) < d(y^∗, x))，这与 (y^∗) 的最优性矛盾，因此 (Q_1) 和 (Q_2) 必须不相交。

目标函数重写

根据引理 4 和 5，我们可以重写目标函数和约束条件：
- (OPT2 = \min_x \min_{y \in C(x)