Tarjan双连通分量算法论文翻译_depth-first search and linear graph algorithms-优快云博客

Depth-First Search and Linear Graph Algorithms

Tarjan在1972年发表了这篇关于线性图论算法的论文，在论文中详细分析了深度优先搜索的各种性质，并且利用其性质给出了两个应用：无向图的双连通分量以及有向图的强连通分量。

在此将对其中的双连通分量算法做出一些翻译解释。仅需要你对DFS发现时间以及后向边有了解即可。

一、首先给出一些定义：

树边：深度优先森林（无相连通图中深搜树T）中的边。
后向边：后向边（u，v）是将点u连接到其深度优先搜索树中的一个祖先节点v的边。
Palm Tree（简称P）：由树边和无向边以及这些点构成的图。
双连通图：设G = （V，E）为一无向连通图，对于V中的每三个点v,w,a，都有一条路径从v到w而不用经过a，我们就称G为双连通图。
关节点：设G中三点v，w，a，若任何从v到w的路径（至少有一条）都要经过a，我们就称a为G的一个关节点。

注意虽然双连通分量值针对于无向图，但是其DFS生成的P以及T都是有向图，T是P的子图。

于是有引理：设G = （V，E），若定义位于同一环路的边为等效边，则根据此将边进行划分Ei，边的端点集Vi，则我们称Gi = （Vi，Ei）为G的一个双连通分量。

双连通分量有以下性质：

Gi之间互不包含。
G中每个关节点至少出现一次在Vi中，每个非关节点都只出现在一个Vi里面。
Vi与Vj（i ！= j）交集最多只有一个元素，这个元素也就是图G的关节点。

二、双连通分量定理及实现

设number[u]为点u的发现时间，low[u]为点u在palm tree中能到达的最早点的发现时间。

定理：设无向连通图中三点u，v，a若（a，v）是T（不包括后向边）也即是P的一条边，并且u不是v在T中的子孙节点，如果low[v] >= number[a]，则a是G的一个关节点并且去掉a以后v和u将不会连通。

证明：因为a可到v并且low[v] >= a，所以从v出发的点若不经过a则只能在v以及v的子孙节点中，又因为u不是v在T中的子孙节点，所以a是G的一个关节点。

上图是论文中的一个例子，图（a）表示无向连通图，图（b）给出了palm tree，点旁边的记号分别为发现时间以及low值，带星号的点为关节点。其中的后向边由虚线给出。

为了进一步分析问题，给出求双连通分量的代码：

int BiConnect(short v,short u)  //u is the father of v in spanning T
{
    number[v] = low[v] = index++;
    for(short w = 1;w <= N;w++)
    {
        if(w != u&&w != v&&graph[v][w])    //可行边并且不能是其本身以及其父节点
        {
            edge newEdge;
            newEdge.x = v;
            newEdge.y = w;
            if(!number[w])      //w还没标记，则w将是v的一个子节点
            {
                edgeStack[stackTop++] = newEdge;       //将边压入栈
                BiConnect(w,v);                         //继续深搜
                low[v] = min(low[v],low[w]);           //深搜返回后调整low值
                if(low[w] >= number[v])                //有双连通分量或者桥边
                {
                    memset(bcc,0,sizeof(bcc));
                    while((--stackTop)&&(edgeStack[(stackTop)].x != newEdge.x||edgeStack[(stackTop)].y != newEdge.y))   //将直到（v,w）的边出栈
                    {
                        bcc[edgeStack[stackTop].x][edgeStack[stackTop].y] = 1;      //将边保存到双连通分量bcc
                    }
                    bcc[edgeStack[stackTop].x][edgeStack[stackTop].y] = 1;
                }
            }
            else if(number[w] < number[v])      //（v,w）是后向边，说明有环路
            {
                edgeStack[stackTop++] = newEdge;
                low[v] = min(low[v],number[w]);
            }
        }
    }
    return 0;
}

在代码中，无向图以及双连通分量都是采用的矩阵表示。
根据tarjan算法，我们不断将遇到的树边以及后向边（只能是这两种边）压入栈，若遇到Low[w] >= number[v]，则进行出栈以及双连通分量处理。注意此时的v不一定是关节点，（v,w）也不一定是桥（删除此边，图就不再连通）。

首先分析为什么不是么关节点，可以很容易举出反例，若G就是个单纯的环路，则DFS会一直往下走直到又回到根节点时，不等式等号成立，而根节点又显然不是关节点，单纯的环路图就没有关节点。这个与Tarjan的定理矛盾吗？当然是不矛盾的，注意定理题设中给出了三点，也即是必须还要有一点u不在v的生成树中，但是环路中，所有点（除了根节点）都在根节点的子树中了。所以求关节点时，代码中当v为根节点时，还要看DFS后子节点是否有超过两个，有的话则v是一个关节点（不同子树的点必须通过根节点连接）。
同样若G是单纯环路，则（v,w）显然也不是桥，注意到此时G是个双连通图，所有点的low值都等于number[root]，所以不等式取等号说明（v,w）是双连通分量中的边，取大于号说明是桥。