35、集体行为与新型模糊逻辑系统研究

集体行为与新型模糊逻辑系统研究

集体行为的二阶模型

在集体行为的研究中，二阶模型有着重要的地位。对于二阶模型中第 $i$ 个智能体的动态方程如下：
$\begin{cases}
\dot{x}_i = v_i \
\dot{v}_i = k_1x_i + k_2v_i + u_i
\end{cases}$

设 $C = \frac{1}{2}x_i^T x_i$，则 $\dot{C} = x_i^T v_i \triangleq W$，进一步推导可得：
$\dot{W} = |v_i|^2 + x_i^T (k_1x_i + k_2v_i + u_i) = |v_i|^2 + k_1x_i^T x_i + k_2x_i^T v_i + x_i^T u_i$

假设 $k_1 = -\frac{|v_i|^2}{x_i^T x_i}$，$k_2 = -k_v$（$k_v > 0$）且 $x_i^T u_i = 0$，则有：
$\begin{cases}
\dot{x} i = v_i \
\dot{v}_i = -\frac{|v_i|^2}{x_i^T x_i}x_i - k_vv_i + \sum {j\in N_i} w_{ij}(k_a - \frac{k_r}{|x_i - x_j|^2})(x_j - \frac{\langle x_i, x_j\rangle}{r^2}x_i)
\end{cases}$

这部分的主要工作是研究树形结构下的高维 Kuramoto 模型是否能达到平衡。

下面是相关的引理和定理：