14、有限模型理论的多样化应用

有限模型理论的多样化应用

1 数理逻辑中的决策问题

有限模型理论在数理逻辑中的一个重要应用是解决决策问题。经典的数理逻辑决策问题主要集中在一阶句子的可满足性问题上：给定一个一阶句子，它是否有模型？

我们知道，通常情况下，可满足性问题是不可判定的。然而，存在一些可判定的片段，这些片段是根据量词前缀类来划分的。假设我们使用的词汇表是纯粹的关系词汇表，那么我们可以定义一些量词前缀类，比如：

• FO(∃ ∀ ) ：所有量词前缀为 ∃ ∀ 的句子。
• FO(∃ ∀∃ ) ：所有量词前缀为 ∃ ∀∃ 的句子。

这些类分别被称为伯奈斯-肖恩芬克尔类（Bernays-Schönfinkel class）和阿克曼类（Ackermann class）。这两种类的可满足性问题是可判定的，其证明技术依赖于有限模型性质。

有限模型性质

我们说一个句子类 ( K ) 具有有限模型性质，如果对于每一个句子 ( \Phi ) 在 ( K ) 中，要么 ( \Phi ) 是不可满足的，要么它有一个有限模型。这意味着在具有有限模型性质的类 ( K ) 中，每一个可满