【1195】判断整除

【问题描述】
       一个给定的正整数序列，在每个数之前都插入+号或−号后计算它们的和。比如序列：1、2、4共有8种可能的序列：
       (+1) + (+2) + (+4) = 7
       (+1) + (+2) + (-4) = -1
       (+1) + (-2) + (+4) = 3
       (+1) + (-2) + (-4) = -5
       (-1) + (+2) + (+4) = 5
       (-1) + (+2) + (-4) = -3
       (-1) + (-2) + (+4) = 1
       (-1) + (-2) + (-4) = -7
       所有结果中至少有一个可被整数k整除，我们则称此正整数序列可被k整除。例如上述序列可以被3、5、7整除，而不能被2、4、6、8……整除。注意：0、−3、−6、−9……都可以认为是3的倍数。
【输入】
       输入的第一行包含两个数：N(2<N<10000)和k(2<k<100)，其中N代表一共有N个数，k代表被除数。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都0到10000之间（可能重复）。
【输出】
       如果此正整数序列可被k整除，则输出YES，否则输出NO。（注意：都是大写字母）。
【输入样例】
       3 2
       1 2 4
【输出样例】
       NO
【算法分析】
       首先，先看题干中的例子，可以看出，组合后的结果的符号与整除于否无关，所以只需考虑绝对值的情况。
       再者，序列中的数字，能影响答案的，并不是整个数，而是它摸k的值，所以对数据进行处理，缩小数据。
              for(int i=1;i<=n;i++) {
                      cin>>tmp;
                      tmp%=k;//预处理
                      a[i]=tmp;
               }
       接下来，继续分析。
       由1,2,4来分析，如果从1开始加入序列，那么1可以被1整除。
       接下来2加入，这样就有1和3(结果只取绝对值)两个数可以整除。
       再接下来是4，这样子1,3,5,7就都符合整除规则了。
       所以我们就想到可以从头开始，一个一个来（让元素入列）。因为元素越多，组合方式是以指数级爆炸的，又因为如此多的组合的结果有大量重复，所以说就想到可以以k为数组的第二维，只要枚举余数，就可以将复杂度控制到可控范围。
       那么，就可以用bool变量f[i][j]表示前i个数是否可以被j整除（1可以，0不可以）
       如果要转移到f_i,j的状态，那么就要在前i-1个数已经入列的基础上再加第i个数，而第i个数又只有正和负两种情况所以便只考虑是由加第i个数和减第i个数就好了。
       要想加a[i]得到余数为j的情况，那么前i-1个数必须满足余数可以为j-a[i]
       反之，若减a[i]得到余数可以为j，那么前i-1个数必须满足余数可以为j+a[i]
       所以，要想a[i]入列后，余数为j，那么上述两个条件满足一个就好。
       列出方程：f[i][j] = f[i-1][j-a[i]] || f[i-1][j+a[i]]
       (不过为了防止爆数组，要控制j±a[i]的数据在k的范围内，所以要+k然后%k)
       边界条件：f[0][0]=1(0个元素，结果为零，所以不管k为多少，余数都为零)
【参考程序】

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int n, k;							// n个数，被k整除 
int a[10001];						// a[i]表示整数序列中第i个元素
int f[10001][101];					// f[i][j]表示前i个数相加的和除以k的余数。 

int main() {
	cin >> n >> k;
	memset(a, 0, sizeof(a));	
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		cin >> a[i];
//		if (a[i] < 0) {
//			a[i] = -a[i];			// 输入数据时对a[i]处理，因组合后的结果的符号与整除于否无关，所以只需考虑绝对值的情况 
//		}
		a[i] %= k;					// 保证a[i]为小于k的正整数 
	}
	
	f[0][0] = 1;					// 边界
	for (int i=1; i<=n; i++) {		// 第一维 表示n个数字 
		for (int j=0; j<k; j++) {	// 第二维 表示%k的余数 
			f[i][j] = f[i-1][(j-a[i]+k)%k] || f[i-1][(j+a[i]+k)%k];
		}
	} 
	
	if (f[n][0]) {
		cout << "YES" << endl;
	} else {
		cout << "NO" << endl;
	}
	
	return 0;
}