【例5】集合的划分

【问题描述】
       设S是一个具有n个元素的集合，S={a1, a2, …, an}，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，…，Sk，且满足：
        （1）Si ≠ ф；
        （2）Si ∩ Sj = ф; （1<=i, j<=k i≠j）
        （3）S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪…∪ SK = S
        则称S1，S2，…，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1, a2, …, an放入k个（0<k<=n<30）无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1, a2, …, an放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。
【输入数据】
        10 6
【输出数据】
        22827
【算法分析】
       先举个例子，设S={1,2,3,4}，k=3，不难得出S有6种不同的划分方案，即划分数S(4,3)=6，具体方案为：
       ｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝ ｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝ ｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝
       ｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝ ｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝ ｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝
       考虑一般情况，对于任意的含有n个元素a1, a2, …, an的集合S，放入k个无标号的盒子中去，划分数为S(n,k)，我们很难凭直觉和经验计算划分数和枚举划分的所有方案，必须归纳出问题的本质。其实对于任一个元素an，则必然出现以下两种情况：
       （1）{an}是k个子集中的一个，于是我们只要把a1, a2, …, an-1划分为k-1子集，便解决了本题，这种情况下的划分数共有S(n-1,k-1)个；
       （2）{an}不是k个子集中的一个，则an必与其他的元素构成一个子集。则问题相当于先把a1, a2, …, an-1划分成k个子集，这种情况下划分数共有S(n-1,k)个；然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，这样对于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，因此根据乘法原理，划分数共有k* S(n-1,k)个。
       综合上述两种情况，应用加法原理，得出n个元素的集合{a1, a2, …, an}划分为k个子集的划分数为以下递归公式：S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)(n>k,k>0)。
       下面，我们来确定S(n,k)的边界条件，首先不能把n个元素不放进任何一个集合中去，即k=0时，S(n,k)=0；也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去，即k>n时，S(n,k)=0；再者，把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方案数显然都是1，即k=1或k=n时，S(n,k)=1。
       因此，我们可以得出划分数S(n,k)的递归关系式为：
       S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k) (n>k, k>0)
       S(n,k) = 0 (n<k)或(k=0)
       S(n,k) = 1 (k=1)或(k=n)
【参考程序】

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

int s(int, int);						// 递归函数 

int main() {
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	cout << s(n, k) << endl; 
	
	return 0;
}

int s(int n, int k) {					// 递归算法计算集合划分数 
	if ((n<k) || (k==0)) {				// 满足边界条件，退出 
		return 0;
	} 
	if ((k==1) || (k==n)) {
		return 1;
	}
	return s(n-1,k-1) + k*s(n-1,k);		// 调用下一层递归 
}