茶要冷却多久才能喝：牛顿冷却定律与茶的冷却时间计算

一起来探讨一个与生活有关的问题，解决这个问题可以使用可分离变量方程来求解。假定你泡了一杯热茶，这可以是当地的名茶，香气四溢，可惜刚刚泡好的茶太烫了，还下不得口。那要过多久才能喝呢？
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假定已知环境温度为$T_0$，茶的温度为$T(t)$。茶的温度是时间$t$的函数，因为它随时间会有所变化，这个变化的规律是什么？代表这个规律的函数就是要求的解。

牛顿冷却定律与方程建立

根据牛顿冷却定律，物体的冷却速度与两个温度之差（物体的温度和周围环境的温度之差）成正比，即：

$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0),T-T_0>0$

这是一个可分离变量方程。经变换，可得：

$\frac{1}{T-T_0}dT=-kdt⟹\ln |T-T_0|=-kt+C$

$⟹T-T_0=\exp (-kt+C)⟹T-T_0=D\cdot \exp (-kt)(D\ge 0)$

学习点拨

$T-T_0$为非负值，故$D$也为非负值。

初始条件与通解

设茶泡出来的初始温度为$T_1$，在初始时，$t=0$，故有：

$T_1-T_0=D\cdot \exp (0)⟹D=T_1-T_0$

因此，茶的温度与时间的关系为：

$T-T_0=(T_1-T_0)\exp (-kt)⟹T=(T_1-T_0)\exp (-kt)+T_0$
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实例计算

例：假定茶水刚刚泡出来的温度为 98 度，目前茶的温度为 90 度，环境温度为 24 度，冷却系数为 0.1（这里的值仅为方便计算假设的，实际情况中冷却系数需要通过实验测定）。计算茶冷却到 30 度的时间：

1. 代入公式得：

   $T=(90-24)\exp (-0.1t)+24=66\exp (-0.1t)+24$

2. 令$T=30$，求解$t$：

   $30=66\exp (-0.1t)+24⟹\exp (-0.1t)=\frac{6}{66}⟹t=\frac{\ln \frac{1}{11}}{-0.1}\approx 23.98（分钟）$

可见，大约需要 23.98 分钟。