18、多项式插值在密码学中的应用与研究

多项式插值在密码学中的应用与研究

1. 引言

在密码学领域，多项式插值是一个重要的研究方向，它与离散对数、RSA 问题等密切相关。Lange 和 Winterhof 在相关研究中给出了许多关于多项式插值次数的结果，涉及离散对数密码系统，包括椭圆曲线密码学。本文将在此基础上进一步探讨两个方面的内容：一是具有特定自同态的椭圆曲线离散对数（ECDL）的多项式插值次数的更好下界；二是有限域乘法子群到椭圆曲线嵌入的多项式插值次数。

2. 相关定理及结果

2.1 定理 2

设 (M \geq 3)，(p_1 < p_2 < \cdots < p_M) 为一组素数，(f \in R[X]) 是满足 (f(p_ip_j) = \frac{(p_i - 1)(p_j - 1)}{\gcd(p_i - 1, p_j - 1)})（(1 \leq i < j \leq M)）的多项式。令 (T = \min_{1\leq i\leq M} \tau(p_i - 1))，则有：
- (\text{deg}(f) \geq \frac{M - 1}{T})
- (C_{\pm}(f) \geq \left(\frac{1}{5} \log \left(\frac{M - 1}{T}\right)\right)^{1/2} - 2)

证明过程：选择 (1 \leq k \leq M) 使得 (\tau(p_k - 1) = \min_{1\leq i\leq M} \tau(p_i - 1))。对于 (p_k - 1) 的每个因子 (d)，定义多项式 (F_d(X) = f(p_kX) - \frac{(X - 1)