17、布尔函数与整数分解问题相关函数插值研究

布尔函数与整数分解问题相关函数插值研究

在密码学的世界里，计算困难的数论问题，如离散对数问题和整数分解问题，扮演着至关重要的角色。这些问题的难解性是众多公钥密码系统安全的基石。本文将深入探讨布尔函数的非线性和稀疏性，以及与整数分解问题相关函数的插值多项式的性质。

布尔函数的相关研究

在布尔函数的研究中，有几个关键的概念和定理值得我们关注。

首先，有一个关于函数和的绝对值的不等式：对于在其分裂域 $\mathrm{IF} q$ 上有 $m$ 个零点的函数 $f$，对于 $\mathrm{IF}_q$ 的任意加法子群 $V$ 和 $a \in \mathrm{IF}_q^*$，有 $\left|\sum {\xi \in V} \chi(af(\xi))\right| \leq mq^{1/2}$。

还有一个引理：设 $\eta$ 是复的 $(q - 1)$ 次本原单位根，对于 $q \geq 4$，有 $\sum_{j = 1}^{q - 2} \left|\frac{1}{\eta^j + 1}\right| < 0.785(q - 1) \log_2(q - 1)$。其证明过程如下：
[
\begin{align }
\left|\frac{1}{\eta^j + 1}\right| &= \left|\frac{1}{\eta^{-j} + 1}\right| = \left|\frac{\eta^{-j} - 1}{\eta^{-2j} - 1}\right| = \left|\frac{\eta^{-2jq/2} - 1}{\eta^{-2j} - 1}\right| = \l