3、对称秩错误纠正码与交织里德 - 所罗门码的错误和擦除纠正

对称秩错误纠正码与交织里德 - 所罗门码的错误和擦除纠正

对称秩错误纠正码

在研究线性 (n, k, d) 最大秩距离 (MRD) 码时，我们关注其由弱自正交基生成的码的错误纠正能力。这些码不仅能纠正秩不大于 ⌊(d - 1) / 2⌋ 的所有错误，还能纠正许多特定（即对称）的超出此界限的错误。

当 s = d 时，存在以下两种情况：
1. d 整除 n ：此时 (GF(q^d) \subset GF(q^n))。我们可以选择一个矩阵 (Y_d)，使得元素 (f_1, f_2, \cdots, f_d) 构成 (GF(q^d)) 的一个基。那么 (f_j^{[d]} = f_j)（(j = 1, 2, \cdots, d)）。由此可知，(rank(H(Y_d)) = d - 1)，(dim(V(Y_d)) = 1)。根据引理 4，校验矩阵 (H_{equ}) 定义了一个秩距离 (D = d) 的码。
2. d 不整除 n ：此时 (dim(V(Y_d)) = 0)。否则，(H(Y_d)) 的上半部分
[
\begin{bmatrix}
f_1 \
f_2 \
\cdots \
f_d \
f_1^{[1]} \
f_2^{[1]} \
\cdots \
f_d^{[1]} \
\cdots \
\cdots \
\cdots \
f_1^{[d - 2]} \
f_2^{[d - 2]} \
\cdots \
f_d^{[d - 2]}