博弈论-拍卖理论

dcjszhr

已于 2024-02-19 18:09:10 修改

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分类专栏：算法机制设计文章标签：学习算法

于 2023-09-06 16:17:32 首次发布

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身边的拍卖

eBay

• 在线拍卖网站

• 2016年收入为223亿美元

频谱拍卖：

• 向电信公司出售无线频谱的访问权限

• 美国：自1994年以来的收入为600亿美元

赞助的搜索拍卖：

• 在搜索页面上销售与上下文相关的广告

• 谷歌：2018年的广告收入为1160亿美元

单件拍卖：

• 卖家有一个待售的物品

• 竞标者竞争购买该物品

多单位拍卖：

• 卖家有若干相同的物品待售

• 每个竞标者都希望获得一个或多个单位

• 车牌、航空机票、美国国债

组合拍卖：

• 卖家有若干不同的物品待售

• 每个竞标者对某些物品组合感兴趣

• 机场起飞和降落时段、频谱拍卖

单件拍卖：

• 我们有一个待售的物品。

• 每个竞标者i ∈ N 对该物品的估值为 $v_i$ 。

• 卖家可以决定一个价格。

• 结果如何？

单件拍卖格式：

1. 英式拍卖

• 英式拍卖的基本规则：

• 拍卖师设定一个起拍价

• 竞标者轮流提高他们的出价

• 提出最后出价的人赢得该物品并支付其出价

• 英式拍卖的动态过程：

• $v_1$ =50， $v_2$ =20, $v_3$ =70, δ=1。

• 拍卖从 p=0 开始。

• 当 p<30 时，所有竞标者都在出价。

• 当 p=30 时，竞标者2 停止出价。

• 当 p=50 时，竞标者1 停止出价。

• 如果竞标者3是出价50的人，她就赢了并支付50。

• 如果竞标者1是出价50的人，竞标者3出价51并获胜。

• 获胜的出价要么是 $v_1$ ，要么是 $v_1$ + δ。

• 英式拍卖的出价策略：

• 假设你对物品的估值是 v，当前的价格是 p，最小的出价增量是 δ。

• 当且仅当 p + δ ≤ v 时，出价是合理的，你的出价应该是 p+ δ。

• 如果 p + δ > v，并且你最终赢得了物品，那么你支付的价格会超过这个物品对你的价值。

• 如果你出价超过 p + δ，但没有其他人愿意支付超过 p 的价格，那么你支付的金额比赢得拍卖，所必需的要多。

• 例子：

假设你正在参加一个英式拍卖，物品是一幅名画。你对这幅画的估值是100元，当前的价格是60元，最小的出价增量（δ）是10元。

按照拍卖的规则，你可以选择出价70元（即当前价60元 + 增量10元）。但假设你在这一时刻非常想赢得这幅画，所以你直接出价了90元。

但实际上，除了你之外，其他所有竞标者都不愿意出价超过60元。也就是说，如果你按规则只增加了最小增量，出价70元，你同样可以赢得这幅画。

结果，你支付了90元来赢得这幅画，但实际上只需要支付70元就足够了。这样，你多支付了20元，这是不必要的。

这就是为什么你应该按照 p+ δ 来出价的原因，因为这样可以确保你不会多付不必要的金额。

2. 日式拍卖

• 日式拍卖的基本规则：

• 拍卖师设定一个起拍价，然后开始提高它

• 竞标者可以退出，一旦退出就不能再返回

• 最后坚持的竞标者得到该物品，并支付当前价格

• 日式拍卖的动态过程：

• $v_1$ =50， $v_2$ =20, $v_3$ =70, δ=1。

• 拍卖从 p=0 开始。

• 在 p=30 时，竞标者2退出。

• 在 p=50 时，竞标者1退出。

• 竞标者3获胜并支付50。

• 竞价：

• 英式拍卖：50次竞价

• 日式拍卖：2次竞价

3. 荷兰式拍卖：

• 荷兰式拍卖的基本规则：

• 拍卖师设定一个（高）起始价，然后开始降低它

• 当某个竞标者接受价格时，拍卖结束

• 在阿姆斯特丹的花卉市场上使用

4. 密封出价拍卖：

• 密封出价拍卖的基本规则：

• 所有竞标者同时提交他们的出价

• 出价最高的竞标者得到物品，并支付...

• 他的出价（第一价格拍卖）

• 第二高的出价（第二价格，或称为 Vickrey 拍卖）

• Vickrey (第二价格)拍卖的基本规则

• 所有竞拍者同时在密封的信封中提交出价

• 出价最高的竞拍者获胜，但支付的是第二高的价格

• 策略游戏：

• 𝑛 名玩家（竞拍者）。

• 行动：出价（连续的行动空间）

• 收益：如果一个玩家对物品的估价是 𝑣，第二高的出价是 𝑝，那么她的收益是：

• 如果她得到该物品，收益是 𝑣−𝑝

• 如果她没有得到该物品，收益是 0

在Vickrey拍卖中，真实出价是一个占优策略。

证明：

• 假设你对该物品的价值估计是 v

• 假设其他玩家的出价分别是 $b_1$ ≤ … ≤ $b_{n-1}$

• 情况1： $v\geq b_{n-1}$

• 如果你出价 $b\geq b_{n-1}$ ，你会赢并且支付 $b_{n-1}$

• 收益是 $v-b_{n-1}$ ，这与你真实地报告 v 所得到的收益相同。

• 如果你的出价 $b< b_{n-1}$ ，你会输；收益是 0。

• 情况2：v < $b_{n-1}$

• 如果你出价 b ≥ $b_{n-1}$ ，你会赢并支付 $b_{n-1}$

• 收益是 v - $b_{n-1}$ < 0

• 如果你出价 b < $b_{n-1}$ ，你会输；收益是 0，这与你真实出价 v 所得到的收益相同。

总结：

英式拍卖

• 估值最高的人获胜

• 支付第二高的估值或第二高的估值加上一定金额

日式拍卖

• 估值最高的人获胜

• 支付第二高的估值

Vickrey拍卖

• 估值最高的人获胜

• 支付第二高的估值

• + 易于实施，计算效率高

• - 竞拍者必须信任拍卖师

拍卖中的纳什均衡

• $v_1$ =50， $v_2$ =20, $v_3$ =70

• $v_1$ =50， $v_2$ =30, $v_3$ =70 是支配策略中的一个均衡

• $v_1$ =0， $v_2$ =0, $v_3$ =70 也是一个NE (纳什均衡) 拍卖师没有利润

• $v_1$ =70， $v_2$ =0, $v_3$ =0 也是一个NE

• 玩家1得到物品并且不支付任何费用

• 如果玩家3增加她的出价以击败玩家1，她最终会支付至少70，所以她不能增加她的利润

多单位拍卖

• 我们有 k ≤ n 个相同的物品出售。

• 每位竞拍者 i ∈ N 都想要一个物品；将物品估值为 $v_i$ 。

拍卖机制

设计一个机制，使得：

诚实出价是一个支配策略。
物品被分配给 k 个出价最高的竞标者。

机制设计：

• 玩家：N = {1, ..., n}。

• 表示有一个玩家集合N，包括从1到n的n位玩家。

• 结果 O = $o_{1}$ , ..., $o_{m }$ 。

• 有一个可能的结果集合O，其中包括从 $o_{1}$ 到 $o_{m }$ 的m种可能的结果

• 每位玩家都有一个效用函数 $v_i$ : O → R

• 表示每位玩家i都有一个效用函数 $v_i$ ，该函数取决于结果集O并产生一个实数值。这个效用函数代表了玩家对于每一种可能结果的价值

• 有时可以分配支付 $\pi_1$ ... $\pi_n$ ；效用函数则为 $u_{i}(o)=v_{i}(o)-\pi_i$

• 每位玩家i可能需要支付一个金额πi。因此，玩家的总效用（或净效用） $u_{i} (o)$ 是他对结果o的原始效用 $v_i(o)$ 与他必须支付的金额 $\pi_i$ 之间的差值。

• 中心选择某一结果 o* 以最大化某个函数（或许是... $\sum_{i} u_i(o^*)$ 社会福利）

• 意味着在机制设计中，存在一个中心决策者，其目的是选择一个结果o*。这个选择是为了最大化某个函数，可能是所有玩家的总效用之和。具体地， $\sum_{i} u_i(o^*)$ 表示所有玩家在结果o*下的效用之和。

激励兼容性：

• 报告你的真实估值是一个纳什均衡。

支配策略的激励兼容性：

• 报告你的真实估值是一个（至少是弱）支配策略。

Vickrey Clarke Groves (VCG) 机制：
• 一个真实机制的通用框架

• 选择社会最佳结果

• 通过精心设计的支付确保真实报告

选择某一结果 o* 来最大化 $\sum_{i} v _i(o^*)$

确定代理j必须支付的金额：

• 假装 j 不存在，并选择 $o^*_{-j}$ 来最大化 $\sum_{i \neq j} v_i(o_{-j})$

• j 付出 $\sum_{i \neq j} v_i(o^*_{-j}) - \sum_{i \neq j} v_i(o^*) = \sum_{i \neq j}[v_i(o^*_{-j}) -v_i(o^*) ]$

• 首先，为了确定代理 j 的支付，我们首先假设 j 不存在。这意味着我们要在不考虑 j 的情况下重新计算社会最佳结果。我们称这个结果为 $o^*_{-j}$ 。

每个代理支付她对其他代理造成的外部性。

• 代理的外部性是：

(如果 j 不在时其他人的最大福利) - (当 j 在场时其他人的最大福利)

例子：a= 10， b= 7， c= 5， d= 3， e= 1 **拍卖规则：单件拍卖**

1. 当代理 j = a = 10:

物品被分配给价值为10的代理 a= 10， b= 7， c= 5， d= 3， e= 1

• 因为代理a获得了物品

$v_a(o^*) = 10 , v_b(o^*) = 0 , v_c(o^*) = 0 , v_d(o^*) = 0 , v_e(o^*) = 0 \\$

• 选择某一结果 o* 来最大化

$\sum_{i} v_i(o^*) = v_a(o^*) + v_b(o^*) + v_c(o^*) + v_d(o^*) + v_e(o^*)$

$\sum_{i} v_i(o^*) = 10 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10$

• 社会总福利 = 10

• 计算代理 j =10 的支付

• 假装 j 不存在，物品将被分配给代理7。这个公式的值是 $o^*_{-10}=7$ （因为7是除了10之外的最高价值）。

• 对于 $o^*_{-10}=7$ 社会总福利 $\sum_{i \neq 10} v_i(o_{-10}) = v_7(o_{-10}) + v_5(o_{-10}) + v_3(o_{-10}) + v_1(o_{-10})=7$

• 当代理10存在并获得物品时，其他代理的总福利为： $\sum_{i \neq 10} v_i(o^*) = 0$

• 代理10支付的金额: $\sum_{i \neq 10} v_i(o^*_{-10})-\sum_{i \neq 10} v_i(o^*)= \sum_{i \neq 10} [v_i(o_{-10}) - v_i(o^*)] = 7 - 0 = 7$

2. 当代理 j = b = 7:

物品被分配给价值为10的代理 a= 10， b= 7， c= 5， d= 3， e= 1

• 因为代理a获得了物品

$v_a(o^*) = 10 , v_b(o^*) = 0 , v_c(o^*) = 0 , v_d(o^*) = 0 , v_e(o^*) = 0 \\$

• 选择某一结果 o* 来最大化

$\sum_{i} v_i(o^*) = v_a(o^*) + v_b(o^*) + v_c(o^*) + v_d(o^*) + v_e(o^*)$

$\sum_{i} v_i(o^*) = 10 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10$

• 社会总福利 = 10

• 计算代理 j =7 的支付

• 假装 j 不存在，物品将被分配给代理10。这个公式的值是 $o^*_{-7}=10$ （因为10是除了7之外的最高价值）。

• 对于 $o^*_{-7}=10$ 社会总福利 $\sum_{i \neq 7} v_i(o_{-7}) = v_{10}(o_{-7}) + v_5(o_{-7}) + v_3(o_{-7}) + v_1(o_{-7})=10$

• 当代理7存在, a=10获得物品时，其他代理的总福利为： $\sum_{i \neq 7} v_i(o^*) = 10$

• 代理7支付的金额: $\sum_{i \neq 7} v_i(o^*_{-7})-\sum_{i \neq 7} v_i(o^*)= \sum_{i \neq 7} [v_i(o_{-7}) - v_i(o^*)] = 10 - 10 = 0$

3. 当代理 j = c = 5, j = d = 3, j = e = 1 和 j = b = 7一样的结果。

例子：a= 10， b= 7， c= 5， d= 3， e= 1 **拍卖规则：多件拍卖**

1. 当代理 j = a = 10:

物品被分配给价值为10的代理和价值为7的代理 a= 10， b= 7， c= 5， d= 3， e= 1

• 因为代理a和b获得了物品

$v_a(o^*) = 10 , v_b(o^*) = 7 , v_c(o^*) = 0 , v_d(o^*) = 0 , v_e(o^*) = 0 \\$

• 选择某一结果 o* 来最大化

$\sum_{i} v_i(o^*) = v_a(o^*) + v_b(o^*) + v_c(o^*) + v_d(o^*) + v_e(o^*)$

$\sum_{i} v_i(o^*) = 10 + 7 + 0 + 0 + 0 = 17$

• 社会总福利 = 17

• 计算代理 j =10 的支付

• 假装 j 不存在，物品将被分配给代理7和5。这个公式的值是 $o^*_{-10}=7 ,5$ （因为7,5是除了10之外的最高价值）。

• 对于 $o^*_{-10}=7,5$ 社会总福利 $\sum_{i \neq 10} v_i(o_{-10}) = v_7(o_{-10}) + v_5(o_{-10}) + v_3(o_{-10}) + v_1(o_{-10})=12$

• 当代理10存在获得一件物品时，其他代理的总福利为： $\sum_{i \neq 10} v_i(o^*) = 7$

• 代理10支付的金额: $\sum_{i \neq 10} v_i(o^*_{-10})-\sum_{i \neq 10} v_i(o^*)= \sum_{i \neq 10} [v_i(o_{-10}) - v_i(o^*)] = 12- 7 = 5$

2. 当代理 j = b = 7:

物品被分配给价值为10的代理和价值为7的代理 a= 10， b= 7， c= 5， d= 3， e= 1

• 因为代理a和b获得了物品

$v_a(o^*) = 10 , v_b(o^*) = 7 , v_c(o^*) = 0 , v_d(o^*) = 0 , v_e(o^*) = 0 \\$

• 选择某一结果 o* 来最大化

$\sum_{i} v_i(o^*) = v_a(o^*) + v_b(o^*) + v_c(o^*) + v_d(o^*) + v_e(o^*)$

$\sum_{i} v_i(o^*) = 10 + 7 + 0 + 0 + 0 = 17$

• 社会总福利 = 17

• 计算代理 j =7 的支付

• 假装 j 不存在，物品将被分配给代理10,5。这个公式的值是 $o^*_{-7}=10 ,5$ （因为10,5是除了7之外的最高价值）。

• 对于 $o^*_{-7}=10,5$ 社会总福利 $\sum_{i \neq 7} v_i(o_{-7}) = v_{10}(o_{-7}) + v_5(o_{-7}) + v_3(o_{-7}) + v_1(o_{-7})=15$

• 当代理7存在, a=10, b=7获得物品时，其他代理的总福利为： $\sum_{i \neq 7} v_i(o^*) = 10$

• 代理7支付的金额: $\sum_{i \neq 7} v_i(o^*_{-7})-\sum_{i \neq 7} v_i(o^*)= \sum_{i \neq 7} [v_i(o_{-7}) - v_i(o^*)] = 15 - 10 = 5$

3. 当代理 j = c = 5, j = d = 3, j = e = 1 一样的结果0。a= 10， b= 7， c= 5， d= 3， e= 1

• 在VCG机制中，真实报告是一个支配策略。

• 当玩家 j 真实报告时的效用：基于 $u_{i}(o)=v_{i}(o)-\pi_i$ 。

$v_j(o^*) - (\sum_{i\neq j} v_i(o^*_{-j})- \sum_{i\neq j}v_i(o^*)) = \sum_i v_i(o^*)-\sum_{i\neq j} v_i(o^*_{-j})$

代理 j 的原始效用 - 代理 j 的支付 = 最优情况下总的社会福利 - 如果 j 不在时其他人的最大福利

$\sum_i v_i(o^*)$ 在 $o^*$ -最优下的总社会福利

$\sum_{i\neq j} v_i(o^*_{-j})$ 不依赖于j的报告

• 当玩家 j 错误报告时的效用：

$v_j(o') - (\sum_{i\neq j} v_i(o^*_{-j})- \sum_{i\neq j}v_i(o')) = \sum_i v_i(o')-\sum_{i\neq j} v_i(o^*_{-j})$

$\sum_i v_i(o')$ 在 $o'$ 下的总社会福利 - 最多在 $o^*$ 下

$\sum_{i\neq j} v_i(o^*_{-j})$ 不依赖于j的报告

结论：无论 j 的值等于多少，都会在 $o^*$ 处取得最大效用

组合拍卖：

• 我们有待出售的（可能不同的）物品。

• 有 $(n+1)^m$ 个可能的结果（物品分配给出价者）。

• 出价者可能对物品的不同子集有不同的估值。不再是 $v_i$ 而是方程。

• VCG是真实的，但也有一些挑战：

• 偏好揭示：每个出价者有 $2^m$ 个私有参数。

• 计算问题：找到最佳结果 $o^*$ 可能是NP难题。

• 收入的非单调性。

VCG的收入非单调性：

• 两个出价者，两个物品A和B

• 第一个出价者只想要两个物品在一起，即 $v_1(A,B) =1, v_1(A)=v_1(B)=0$

• 第二个出价者只想要物品A，即 $v_2(A,B) = v_2(A)=1,v_2(B)=0$

• VCG的收入是1

当第一个出价者获得两个物品，或者第二个出价者获得B物品，或者两个物品。三种情况下社会总福利为1.

假设：

1. 第一个出价者获得两个物品A，B：

• 当第一个出价者不存在的时候，第二个出价者获得物品A，此时社会总福利为1

• 当第一个出价者存在并获得两个物品的时候，其他社会总福利为0

• 因此第一个出价者需要支付 1-0=1

2. 因为第二个出价者没有获得物品：

• 所以第二个出价者需要支付 0

• 添加第三个出价者，他只想要物品B, 即 $v_3(A,B) =v_3(B)=1, v_3(A)=0$

• VCG的收入下降到0！

假设：

1. 第一个出价者没有获得物品：

• 所以第一个出价者需要支付 0

2. 第二个出价者获得物品A：

• 当第二个出价者不存在的时候，第一个出价者获得物品A，B，此时社会总福利为1

• 当第二个出价者存在的时候获得物品A，并且第三个出价者获得物品B。其他社会总福利为1

• 因此第二个出价者需要支付 1-1=0

3. 当第三个出价者获得物品B：

• 当第三个出价者不存在的时候，第一个出价者获得物品A，B，此时社会总福利为1

• 当第三个出价者存在的时候获得物品B，并且第二个出价者获得物品A。其他社会总福利为1

• 因此第三个出价者需要支付 1-1 =0

结论三个出价者需要支付都为0，所以收益为0