博弈论-公平分配不可分割的物品

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/dcjszhr/article/details/133843876

本文探讨了游戏或资源分配中玩家对物品的主观价值评估，涉及公平观念如比例性、无羡慕以及EF1、MMS等效用最大化原则。文章详细介绍了循环算法、最大纳什福利和查询复杂性的分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

基础设定

• 玩家 $N =\{1, 2, . . . , n\}$

• 不可分的物品 $G = \{g_1, g_2, . . . , g_m\}$

• 玩家 $i$ 对物品 $g$ 有价值 $v_i(g)$ 。

每个玩家对每个物品都有一个特定的价值评估。这意味着，例如，玩家A可能认为一辆车值$10,000，而玩家B可能认为它值$15,000。这种价值评估是主观的，并基于玩家的偏好和需求。

• 除非另有说明，否则假设估值是可加的：对于所有 $G' \subseteq G$ ， $v_i(G') = \sum_{g\in G'}v_i(g)$

■ 优点：容易引出（每个代理有 $m$ 个值而不是 $2^m$ 个值）

■ 缺点：不允许互补/替代

• 分配是物品的一个划分， $A = (A_1, A_2, . . . , A_n)$ ，其中捆绑 $A_i$ 分配给玩家 $i$ 。

公平观念

• 什么时候分配是公平的？

• 比例性：对于所有 $i\in N , \ v_i(A_i)\geq \frac{1}{n} \cdot v_i(G)$

■ $i$ 是玩家

■ $N$ 是玩家集合

■ $v_i(A_i)$ 是玩家 $i$ 对他得到的物品 $A_i$ 的价值

■ $v_i(G)$ 是玩家 $i$ 对所有物品 G 的总价值

■ n 是玩家的总数

• 无羡慕：对于所有 $i,j\in N , \ v_i(A_i)\geq v_j(A_j)$

■ 玩家 $i$ 对他得到的物品 $A_i$ 的价值至少与玩家 $j$ 对玩家 $j$ 得到的物品 $A_j$ 的价值一样高。

• 问题：对于 n = 2，哪一个观念更强？对于 n ≥ 3 呢？

■ 对于 n = 2，无羡慕和比例性是等价的。

■ 对于 n ≥ 3，无羡慕比比例性更强。

■ 无羡慕 ⇒ 比例性：如果对于所有的 $i,j\in N , \ v_i(A_i)\geq v_j(A_j)$ ，那么 $n \cdot v_i(A_i) \ge v_i(A_1) + · · · + v_i(A_n) = v_i(G)$ ，所以 $v_i(A_i) \ge \frac {1}{n}\cdot v_i(G)$ 。

■ 比例性 ⇒/ 无羡慕：假设 m = n。玩家1对每个商品的价值都是1，而其他玩家对所有商品的价值都是0。 $A_1 = \{g_1\}, \ A_2 = \{g_2, ... , g_m\}$ ，而 $A_3, . . . , A_n$ 是空的。

在这种情况下，每个玩家都得到了他们对所有物品总价值的 1/n 或更多，所以这满足了比例性。但是，玩家 1 可能会羡慕玩家 2，因为玩家 2 得到了更多的物品，所以这不满足无羡慕。

• 比例性 / 无羡慕不是经常满足的！

最大效用福利 & EF1

• 最大化效用福利，即玩家效用的总和。

• 这简单地意味着我们将每个商品给予对它有最高价值的玩家（任意打破平局）。

玩家	g1	g2	g3	g4	g5	g6	g7	g8
1	10	10	10	10	10	10	10	3
2	9	9	9	9	9	9	9	10

• 除一个商品外的无羡慕（EF1）：玩家 $i$ 可能羡慕玩家 $j$ ，但通过从 $j$ 的包裹中移除一个商品可以消除这种羡慕。形式上，对于任何 $i,j\in N$ ，如果 $A_j = \phi$ ，那么存在 $g \in A_j$ 使得 $v_i(A_i) \ge v_i(A_j / \{g\})$ 。

■ 这是一个比无羡慕稍微宽松一点的公平观念。它允许玩家 $i$ 羡慕玩家 $j$ ，但只要从玩家 $j$ 的物品中移除一个物品，这种羡慕就可以被消除。

■ 形式上，这意味着如果玩家 $i$ 对他得到的物品的价值小于玩家j对他得到的物品的价值，那么至少有一个物品可以从玩家j的物品中移除，使得玩家 $i$ 不再羡慕玩家 $j$ 。

• 最大化效用福利可能不满足EF1。

循环算法

• EF1可以通过循环算法得到满足：让玩家轮流从剩余的商品中选择他们最喜欢的商品，按照1, 2, . . . , n, 1, 2, . . . , n, 1, 2, . . .的顺序，直到商品用完为止。

• 证明：如果 $i$ 在循环排序中领先于 $j$ ，那么在每一个“轮次”中， $i$ 都不会嫉妒 $j$ 。如果 $i$ 落后于 $j$ ，我们考虑从i的第一次选择开始的第一轮。那么 $i$ 在 $j$ 的第一个商品之前都不会嫉妒 $j$ 。

• 额外奖励：得到的分配总是平衡的。

消除嫉妒循环算法

• 通用的单调估值：对于任何 $S\subseteq T \subseteq G$ ，都有 $v_i(S) \leq v_i(T)$ 。

• 我们仍然可以使用消除嫉妒循环算法得到一个EF1分配。

1 按任意顺序一次分配一个商品。

2 维护一个嫉妒图，玩家作为其顶点，如果 $i$ 在当前（部分）分配中嫉妒 $j$ ，则有一个有向边 $i \rightarrow j$ 。

3 在每一步中，下一个商品被分配给没有入边的玩家。任何出现的循环都通过将 $j$ 的包给 $i$ 来消除，对于循环中的任何边 $i \rightarrow j$ 。

• 声明1：在每一步中，消除循环的过程必须结束。每次我们消除一个循环，效用总和都会增加。另一种看法是，嫉妒边的数量减少了。

• 声明2：当消除循环的过程结束时，存在一个未被嫉妒的玩家（即在嫉妒图中的一个源）。反证法证明。如果a被b嫉妒，b被c嫉妒，...，那么我们将在嫉妒图中得到一个循环。

• 声明3：在每一步中，部分分配是EF1。我们将一个商品分配给一个未被嫉妒的玩家，所以对该玩家的任何嫉妒都最多只有一个商品（即新分配的商品）。

最大纳什福利

• 分配的纳什福利是玩家效用的乘积： $\prod _{i=1}^nv_i(M_i)$ 。

• 定理: 最大化纳什福利的分配，称为最大纳什福利（MNW）分配，是EF1。

• 如果MNW = 0，最大化具有正效用的玩家数量，然后在这些玩家中最大化纳什福利。

• 证明概述：

■ 假设出于矛盾，即使从 $j$ 的包中移除任何商品，玩家 $i$ 仍然嫉妒玩家 $j$ 。

■ 考虑 $j$ 的包中最小化比率 $v_j(g)/v_i(g)$ 的商品 $g$ 。

■ 将 $g$ 移到 $i$ 的包中会增加纳什福利。

奖励：所得到的分配总是帕累托最优的：我们不能使某个玩家更好而不使另一个玩家更差。

EFX

• 嫉妒自由到一个好处（EF1）：

■ 对于任意的 $i,j\in N$ ，如果 $A_j = \phi$ ，则存在 $g \in A_j$ 使得 $v_i(A_i) \ge v_i(A_j / \{g\})$ 。

■ “如果从你的包裹中移除某个商品g，我就不再嫉妒你了。”

• 对于任何好处的嫉妒自由（EFX）：

■ 对于任意的 $i,j\in N$ 和任意的 $g \in A_j$ ，我们有 $v_i(A_i) \ge v_i(A_j / \{g\})$ 。

■ “如果从你的包裹中移除任何商品g，我就不再嫉妒你了。” 无嫉妒 ⇒ EFX ⇒ EF1

• 嫉妒自由 ⇒ EFX ⇒ EF1

EF1 vs EFX

• 示例：

玩家	g1	g2	g3
1	2	2	3
2	4	4	1

■ 分配 $A_1 = \{g_1\}$ 和 $A_2 = \{g_2, g_3\}$ 是 EF1 但不是 EFX。

A1的效用 = 2

A2的效用 = 4 + 1 = 5

玩家1对 {g1} 的估值是2，而对 {g2, g3} 的总估值是5。这意味着玩家1嫉妒玩家2，因为玩家2的包裹的总价值（5）大于玩家1的包裹的价值（2）。

但是，如果我们从玩家2的包裹中移除g3，玩家1对剩下的商品g2的估值是2，这是小于等于他对自己包裹中的商品g1的估值（2）。因此，玩家1不再嫉妒玩家2。这个分配是EF1但不是EFX。

■ 分配 $A_1 = \{g_3\}$ 和 $A_2 = \{g_1, g_2\}$ 是 EF1 且是 EFX。

玩家1对 {g3} 的估值是3，而对 {g1, g2} 的总估值是4。这意味着玩家1确实嫉妒玩家2，因为玩家2的包裹的总价值（8）大于玩家1的包裹的价值（3）。

但是，如果我们从玩家2的包裹中移除g1，玩家1对剩下的商品g2的估值是2，这是小于他对自己包裹中的商品g3的估值（3）。同样，如果我们移除g2，玩家1对剩下的商品g1的估值也是2，这也是小于他对自己包裹中的商品g3的估值。

因此，无论我们从玩家2的包裹中移除哪个商品，玩家1都不会嫉妒玩家2。

■ 轮流、消除嫉妒周期和最大纳什福利的输出可能不满足 EFX。

■ 问题：是否总是存在一个 EFX 分配？

• 当 n = 2 时，总是存在一个 EFX 分配。

■ “切割和选择”

■ 第一个玩家将物品分成两束，她认为这两束尽可能相等。

■ 第二个玩家选择他更喜欢的束。

■ 第一个玩家将是 EFX，第二个玩家将是无嫉妒的。

• 对于 n = 3，保证存在（证明要复杂得多）。

• 对于 n ≥ 4，这个问题还没有答案！

最大最小份额

• 比例性的一个放宽是最大最小份额（MMS）。

• 可以通过执行以下思想实验来计算玩家的 MMS：玩家将物品分成 n 个束，以使最小值束的价值最大化。

玩家	g1	g2	g3	g4
1	11	10	5	1
2	1	6	1	2
3	8	7	4	9

■ 玩家1的分区：{g1}，{g2}，{g3, g4} ⇒ MMS1 = 6

■ 玩家2的分区：{g1, g3}，{g2}，{g4} ⇒ MMS2 = 2

■ 玩家3的分区：{g1}，{g2, g3}，{g4} ⇒ MMS3 = 8

• 最大最小份额是比例性的放宽： $MMS_i \le \frac{v_i(G)}{n}$

• 当有两个玩家时，总是存在给每个玩家至少他/她的最大最小份额的分配... ...

• 但是当有至少三个玩家时就不是这样了！

• 然而，对于任何数量的玩家，我们总是可以给每个玩家至少他/她最大最小份额的3/4。

• 为每个玩家分配至少他/她的最大最小份额的分配在有两个玩家时总是存在的。

• 证明：再次使用“切割和选择”方法。

■ 爱丽丝将物品分成两部分，这两部分在她看来尽可能地具有相等的价值。

■ 任何一部分都至少为她提供了她的 MMS 的价值。

■ 鲍勃选择他更喜欢的一部分。

■ 鲍勃是不嫉妒的（因此是按比例的 & 至少得到了他的 MMS）

查询复杂性

• 我们需要查询玩家多少次？

■ 通过每次查询，算法可以找出某个玩家对某一组物品的价值。

• 当估值不是可加的时，这尤其相关。

• 即使在单调估值的情况下，也可以使用 O(nm) 的查询来实现嫉妒周期消除算法。

■ 为了构建嫉妒图，只需查询每个代理对每个部分分配中的 n 个束的价值。

■ 由于有 m 个部分分配，所以查询次数是 O(nm)。

这里的 n 是玩家数量，m 是物品数量。为了构建嫉妒图，我们只需要询问每个玩家对每个部分分配中的 n 个束的价值。由于有 m 个部分分配，所以查询次数是 O(nm)。

• 对于两个具有单调估值的代理，O(log m) 的查询就足够了！

■ 将物品排列在一条线上，并执行切割和选择。

■ 第一个代理可以使用二分搜索找到一个 EF1 切割。

这是因为我们可以使用二分搜索来找到一个 EF1 切割。这种方法非常高效，因为它每次都将搜索空间减半。

• 同样的技术不能用于 EFX，因为可能不存在在线上的 EFX 分区。

■ 示例：m = 3，值为 1, 2, 1。

• 任何确定性的 EF1 算法都需要 Ω(log m) 的查询。

■ 即使对于每个玩家对两个物品的价值为1，对其余物品的价值为0的相同的可加估值也是如此。

■ 在任何 EF1 分配中，两个有价值的物品必须被分开。

• 通过对手论证来证明。

■ 最初让 G′ = G。

■ 假设算法查询 v(H)。

■ 如果 |G′ ∩ H| ≥ |G′| 2 ，对手回答 2 并用 G′ ∩ H 替换 G′。

■ 否则，对手回答 0 并用 G′ \ H 替换 G′。

■ 由于在开始时 |G′| = m，并且在每次查询后都会减少最多 2 的因子，所以需要 Ω(log m) 的查询。

• 任何确定性的 EFX 算法都需要指数级的 m 的查询次数。