10、并行共轭梯度算法及其预条件方法详解

并行共轭梯度算法及其预条件方法详解

1. 并行共轭梯度算法

并行共轭梯度算法是求解偏微分方程离散后得到的线性代数方程组的有效方法。其基本思路是将矩阵 - 向量乘积、内积计算等操作进行并行化处理，以提高计算效率。

1.1 算法步骤

以下是并行共轭梯度算法的详细步骤：
1. 选择初始猜测值 ：选择初始猜测值 $x_0$。
2. 初始化向量 ：计算 $p_0 = r_0 = Ax_0 - b$，并计算 $\gamma_0 = r_0^T r_0$。
3. 迭代过程 ：
- 对于 $k = 0, 1, \cdots$ 进行以下操作：
1. 并行计算 $z_k$ ：计算 $z_k = Ap_k$。
2. 计算 $\alpha_k$ ：使用扇入算法计算 $p_k^T z_k$，并计算 $\alpha_k = \frac{r_k^T r_k}{p_k^T z_k}$。
3. 更新 $x_{k + 1}$ ：并行更新 $x_{k + 1} = x_k + \alpha_k p_k$。
4. 计算 $r_{k + 1}$ ：并行计算 $r_{k + 1} = r_k + \alpha_k z_k$。
5. 计算 $\gamma_{k + 1}$ ：使用扇入算法计算 $\gamma_{k + 1} = r_{