62、机械臂逆运动学控制与智能软件用户界面开发方法

机械臂逆运动学控制与智能软件用户界面开发方法

机械臂逆运动学控制

机械臂逆运动学问题

考虑一个具有 $K$ 个自由度的机械臂。在任意时刻 $t$，其关节变量可表示为 $\mathbf{q} = [q_1, q_2, \cdots, q_K]^T \in \mathbb{R}^K$，描述机械臂任务的位置变量用一个包含 $L$ 个变量的向量 $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \cdots, x_L]^T \in \mathbb{R}^L$ 表示。$\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{q}$ 之间的关系由正向运动学函数 $\mathbf{x} = f(\mathbf{q})$ 确定。

逆运动学问题则是找到上述函数的逆映射，即 $\mathbf{q} = f^{-1}(\mathbf{x})$。求解该问题最直接的方法是从正向运动学方程推导出闭式解，但由于 $f(\cdot)$ 的非线性，对于大多数机器人而言，获得闭式解是不可能的。

另一种方法是利用关节速度 $\dot{\mathbf{q}}(t)$ 和笛卡尔速度 $\dot{\mathbf{x}}(t)$ 之间的关系。它们的线性关系为 $\dot{\mathbf{x}}(t) = J(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}(t)$，其中 $J(\mathbf{q})$ 是 $L \times K$ 的雅可比矩阵，通常可能是奇异的。为了根据给定的 $\mathbf{x}(t)$ 确定 $\mathbf{q}(t)$，需要计算关节速度向量 $\dot{\mathbf{q}}(t)$，其计算公式为：
$\dot{\mathbf{q}}(t) = J^+(\mathbf