32、三角形几何中的Simson线、Steiner线与Miquel点

三角形几何中的Simson线、Steiner线与Miquel点

1. Simson线与Steiner线基础概念

Simson线实际上是由Wallace发现的，因此也常被称为Wallace - Simson线。它表达了三角形外接圆上的点及其在三角形三边投影的一种性质。

定理表明，三角形(ABΓ)外接圆上一点(\Delta)在三角形三边所在直线上的投影({A’,B’,Γ’})是共线点。证明思路是利用由(\Delta)形成的内接四边形，如当(\Delta)在弧(\widehat{BΓ})上时，使用(\Delta A’Γ B’)和(\Delta BΓ ‘A’)，通过证明角(\angle B’A’\Delta)和(\angle \Delta A’Γ ‘)互补，得出(A’)，(B’)和(Γ’)共线。

相关练习要求证明该定理的逆命题，即若点(\Delta)在三角形三边的投影共线，则点(\Delta)在三角形的外接圆上。提示是通过角度关系得出(AB\Delta Γ)是内接四边形。

2. Simson线的相关命题与性质

• 命题5.7 ：若点(\Delta)在三角形(ABΓ)的外接圆上，(E)是它在(BΓ)上的投影，(\Theta)是(\Delta E)与外接圆的第二个交点，则直线(A\Theta)平行于点(\Delta)的Simson线。证明利用了内接四边形(A\Delta Γ\Theta)和(\Delta EZΓ)（(Z)是(\Delta)在(AΓ)上的投影）的性质，得出直线(A\Theta)和(EZ)与(\Theta E)形成的内错角相等。
• 命题5.8