30、三角形中的费尔巴哈定理与欧拉定理

三角形中的费尔巴哈定理与欧拉定理

1. 费尔巴哈定理

1.1 定理背景

1822 年，费尔巴哈（1800 - 1834），一位高中教师，出版了一本小书，其中包含了我们下面要证明的定理。该定理的证明中，关键角色是直径为 (K\Lambda) 的圆 (\kappa)，其中 ({K, \Lambda}) 分别是三角形 (AB\Gamma) 中内心 (I) 和角 (bA) 内的旁心 (\Theta) 在 (B\Gamma) 上的投影。

1.2 相关命题及证明

命题 5.5 给出了一些性质，以下是具体内容及证明：
1. 圆 (\kappa) 与内切圆 (\lambda) 和旁切圆 (\mu) 正交
证明：因为圆在 (K) 和 (\Lambda) 处的半径分别与圆 (\kappa) 的对应半径正交，所以该性质显然成立（见图 5.16 - I）。
2. 角平分线 (AI) 与 (B\Gamma) 的交点 (\Xi) 是高的垂足 (A’‘) 关于圆 (\kappa) 的反演点
证明：根据命题 5.3，圆 (\kappa) 的半径 (r = \frac{|b - c|}{2})。通过考虑 (B) 关于直径为 (A\Gamma) 的圆的幂，可算出 (|A’A’‘| = \frac{|b^2 - c^2|}{2a})；通过角平分线分 (B\Gamma) 的比例，可算出 (|A’\Xi| = \frac{a|c - b|}{2(b + c)})。由 (r^2 = |A’\Xi||A’A’‘|) 可得该结论。
3. 从 (\Xi) 到内