24、圆的根轴、根心与阿波罗尼斯圆相关知识解析

圆的根轴、根心与阿波罗尼斯圆相关知识解析

1. 根轴与根心

根轴是圆几何中的一个重要概念。对于两个非同心圆κ和λ，根轴ε被定义为到这两个圆的幂相等的点X的几何轨迹。下面我们来详细探讨根轴的一些性质和相关定理。

1.1 根轴的性质

• 幂差公式 ：对于点X相对于两个非同心圆κ(O,ρ)和λ(P,σ)的幂差|pκ(X) - pλ(X)|，有公式|pκ(X) - pλ(X)| = 2|OP|·δ，其中δ是点X到根轴的距离。证明过程如下：
• 首先，根据幂的半径表达式，pκ(X) - pλ(X) = (|XO|² - ρ²) - (|XP|² - σ²)
• 然后，通过一系列的等式变换：
  • = (|XO|² - |XP|²) - (ρ² - σ²)
  • = (|OY|² - |PY|²) - (ρ² - σ²)
  • = (|OY|² - |PY|²) - ((|OA|² - pκ(A)) - (|PA|² - pλ(A)))
  • = (|OY|² - |PY|²) - (|OA|² - |PA|²)
  • = |OP|(|OY| - |PY|) - |OP|(|OA| - |PA|)
  • = |OP|(|OY| - |OA| + |PA| - |PY|) = ±2|OP|·δ
• 这里Y是点X在圆心连线上的投影，A是圆心连线与根轴的交点，且pκ(A) = pλ(A)。取绝对值后得到最终结果。此证明对于不相