12、多边形与圆弧的几何奥秘

多边形与圆弧的几何奥秘

1. 多边形的基础概念

• 多边形的定义 ：多边形由连续的线段如 AB、BΓ、Γ∆ 等构成封闭折线。这些线段被称为多边形的边，线段的端点 A、B、Γ 等是多边形的顶点，相邻两边所形成的角则是多边形的角。
• 多边形的分类 ：多边形可分为凸多边形、非凸多边形和自相交多边形。凸多边形的任意一条边延长成直线后，整个多边形都在该直线的一侧；非凸多边形至少有一条边延长后会将多边形分成位于直线两侧的部分；自相交多边形则存在至少两条边在非顶点处相交。这里主要讨论凸多边形。
• 多边形的特殊名称 ：根据边或角的数量，多边形有特定名称。如五边形（pentagon）、六边形（hexagon）、七边形（heptagon）等。

2. 多边形的重要性质

• 多边形内角和 ：对于有 ν 个角的凸多边形，其内角和为 (ν - 2)×180 度。证明方法是选取一个顶点，通过多边形的对角线将其与所有不相邻的顶点相连，这样会形成 ν - 2 个三角形，这些三角形内角和即为多边形内角和。
• 正多边形的角度 ：在有 ν 个角的正多边形中，每个角的度数为 $\frac{ν - 2}{ν}×180$ 度。

3. 正多边形的特性

• 正多边形的等腰三角形 ：正多边形的每一条边 AB 与相邻角的角平分线会形成等腰三