13、工程师统计学习之树模型学习介绍

工程师统计学习之树模型学习介绍

在统计学习领域，树模型是一种非常重要且实用的方法。下面将详细介绍树模型相关的知识，包括其基本原理、构建算法以及处理回归问题的具体方式。

1. 树模型概述

树模型，如分类与回归树（CART），自上世纪八十年代初以来，一直是最受欢迎的学习方法之一。它具有易于理解和计算快速的特点，适合作为集成学习方法的基础，因为在集成学习中需要同时计算多个相似的函数估计。

树模型作为筛估计方法，使用分段常数函数进行近似。从积分理论可知，在 d 维空间中，每个可积函数 $m(x)$ 都可以用分段常数函数以如下方式进行任意好的近似：
[m(x) \approx \hat{m}(x) = \sum_{k=1}^{M} b_k 1_{A_k}(x)]
其中，对于足够大的 $M$、合适的实值系数 $b_k$ 和可测的 d 维集合 $A_k$（$k = 1, \ldots, M$），满足 (\int |m(x) - \hat{m}(x)|dx) 很小。这里的指示函数 (1_A(x)) 当 (x) 属于 (A) 时取值为 1，否则为 0。

如果将 $A_k$ 限制为超矩形（对于 (d = 1) 为区间，(d = 2) 为矩形，(d = 3) 为长方体等），这种通用近似性质仍然成立。对于合适的 (a_i < b_i)，超矩形 (R) 对应于满足 (a_i \leq x_i \leq b_i)（(i = 1, \ldots, d)）的所有 (x) 的集合，这里允许 (a_i = -\infty) 和 (b_i = \infty)。

超矩形在分段常数近似中被使用，是因为基于树的函数 (\hat{m}(x)) 是从训练集以迭代