17、混合CPU/FPGA系统上高维美式期权定价方法解析

混合CPU/FPGA系统上高维美式期权定价方法解析

1. 蒙特卡罗（MC）方法

模拟BS模型需要合适的离散化方案，这里采用了欧拉离散化。将其离散为 $m$ 步，步长 $\Delta t = \frac{T}{m}$，得到如下公式：
$\hat{S} {t {i+1}} = \hat{S} {t {i}} \exp\left(\left((r - q)-\frac{\sigma^2}{2}\right) \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \Delta W_{i}\right)$
其中，$\Delta W_{i}$ 是独立的标准正态随机变量。

经典的MC算法将价格 $P$ 估计为贴现收益值 $g(\hat{S})$ 模拟实例的样本均值。MC方法的复杂度仅与维度数呈线性关系，使其成为高维问题的理想选择，或在没有其他数值方案时作为期权定价的最后手段。

MC结果很大程度上依赖于模拟路径的数量，因为其收敛速度较慢。误差的标准差仅随模拟次数的平方根减小。因此，路径数量越多，结果越准确。例如，为了对两个相关股票的美式最大看涨期权定价，使用LS算法，输入参数如下：
|参数|数值|
| ---- | ---- |
|$S_1(0) = S_2(0)$|100|
|$K$|100|
|$r$|0.05|
|$q_1 = q_2$|0.10|
|$\sigma_1 = \sigma_2$|0.2|
|$\rho$|0.1|
|$T$|1|
|$m$|365|
|$N$|10,000|

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