18、混合 CPU/FPGA 系统上高维美式期权定价

混合 CPU/FPGA 系统上高维美式期权定价

1. 路径生成与反向操作

在二维美式期权定价中，路径生成有正向和反向两种方式。正向路径生成是按照正常顺序生成路径，而反向路径则是从到期日逐步回溯到初始日。其中，BS 模块易于实现反向操作，MT 模块的反向操作只需反转更新其内部状态的过程，回火函数保持不变。若要以相反顺序获取相同的随机数序列，只需复制正向模块的最后状态和最终索引。

2. LS 实现

更新现金流的模块实现较为直接，且易于并行化。但回归步骤的实现复杂度较高，其核心是找到在每一步生成条件期望函数所需的回归系数。这些系数 $b$ 通过求解线性方程组 $X b = y$ 得到，其中 $X$ 的每一行包含每个处于价内（ITM）路径的基函数值，$y$ 包含现金流中的对应值，$b$ 中的系数数量等于基函数的数量。

为解决硬件求解回归过程资源消耗大或延迟高的问题，采用智能的软硬件划分方法，在 CPU 上计算系数。为减少 FPGA 和 CPU 之间的通信开销，将方程 $X b = y$ 重写为 $(X^T X)b = (X^T y)$。对于 $k$ 个基函数，$(X^T X)$ 和 $(X^T y)$ 的大小分别为 $k × k$ 和 $k × 1$。该过程可通过累加器进行流水线处理，对于单项式类型的基函数 $x_0$、$x_1$ 和 $x_2$，累加器如下：
[
X^T X =
\begin{pmatrix}
\sum_{n} x_0^n & \sum_{n} x_1^n & \sum_{n} x_2^n \
\sum_{n} x_1^n & \sum_{n} x_2^n & \s