77、自适应滤波器的统计分析与性能评估

自适应滤波器的统计分析与性能评估

1. 稳态分析：能量守恒方法

能量守恒方法（也称为反馈方法）基于能量守恒关系，适用于一大类自适应滤波器。为了推导该关系，我们首先假设环境是平稳的（$q(n) \equiv 0$）。

• 关键公式推导

  • 超额后验误差定义为：$e_p(n) = \tilde{w}^H(n + 1)\varphi(n)$。
  • 通过一系列推导，我们得到：$e_p(n) = e_a(n) - \rho(n)|\varphi(n)|^2_{M(n)}e(n)$。
  • 进一步定义$\bar{\rho}(n)$，并得到能量守恒关系：$|\tilde{w}(n + 1)|^2_{M^{-1}(n)} + \bar{\rho}(n)|e_a(n)|^2 = |\tilde{w}(n)|^2_{M^{-1}(n)} + \bar{\rho}(n)|e_p(n)|^2$。
  • 计算稳态 EMSE 时，对相关公式两边取期望，得到：
    [
    \begin{align }
    E\left[|\tilde{w}(n + 1)|^2_{M^{-1}(n)}\right] &= E\left[|\tilde{w}(n)|^2_{M^{-1}(n)}\right] + E\left[\rho^2(n)|e(n)|^2|\varphi(n)|^2_{M(n)}\right] \
    &- E\left[\rho(n)(e_a(n)e^ (n) + e^ a(n)e(n