76、自适应滤波器的统计分析与算法性能评估

自适应滤波器的统计分析与算法性能评估

1. 权重误差向量自相关矩阵与EMSE、MSD的关系

在自适应滤波器的统计分析中，权重误差向量 $\tilde{w}(n)$ 的自相关矩阵 $S(n)$ 定义为：
$S(n) \triangleq E\left[\tilde{w}(n) \tilde{w}^H(n)\right]$

该矩阵与均方偏差（MSD）和过剩均方误差（EMSE）密切相关。MSD 的表达式为：
$\chi(n) = E\left{|\tilde{w}(n)|^2\right} = \sum_{i = 0}^{M - 1} E\left{\tilde{w}_i^2(n)\right}$

由于 $E\left{\tilde{w} i^2(n)\right}$ 正是 $S(n)$ 对角线上的元素，根据方阵的迹（trace）定义（即主对角线元素之和），可得：
$\chi(n) = \sum {i = 0}^{M - 1} E\left{\tilde{w} i^2(n)\right} = \sum {m = 0}^{M - 1} s_{mm}(n) = Tr(S(n))$

在假设 $\varphi(n)$ 和 $\tilde{w}(n)$ 相互独立的条件下，EMSE $\zeta(n)$ 可表示为：
$\zeta(n) = E\left{\left|\tilde{w}^H(n)\varphi(n)\right|^2\right} = Tr\left(R_{\varphi} S(n)\right)$

其中，$R_{\varphi} = E\left{\varph