77、自适应滤波器的统计分析与性能研究

自适应滤波器的统计分析与性能研究

1. 稳态分析：能量守恒方法

能量守恒方法（也称为反馈方法）基于能量守恒关系，适用于一大类自适应滤波器。为了得到特定形式算法的这种关系，首先假设环境是平稳的（即 $q(n) \equiv 0$）。

1.1 关键公式推导

• 已知过剩后验误差 $e_p(n) = \tilde{w}^H(n + 1)\varphi(n)$。
• 通过一系列推导，得到 $e_p(n) = e_a(n) - \rho(n)|\varphi(n)|^2_{M(n)}e(n)$。
• 定义 $\bar{\rho}(n) \triangleq \begin{cases}1/|\varphi(n)|^2_{M(n)}, & \text{如果 } \varphi(n) \neq 0 \ 0, & \text{否则}\end{cases}$，进而得到能量守恒关系：$|\tilde{w}(n + 1)|^2_{M^{-1}(n)} + \bar{\rho}(n)|e_a(n)|^2 = |\tilde{w}(n)|^2_{M^{-1}(n)} + \bar{\rho}(n)|e_p(n)|^2$。
• 计算稳态误差均值平方（EMSE）时，对相关公式两边取期望，得到：
  $E\left{|\tilde{w}(n + 1)|^2_{M^{-1}(n)}\right} = E\left{|\tilde{w}(n)|^2_{M^{-1}(n)}\right} + E\left{\rho^2(n)|e(n)|^2|\varphi(n)|^2_{M(n)}\right} - E\left{\rho(