19、高效生成特定图与树结构的算法解析

高效生成特定图与树结构的算法解析

在图论和算法设计领域，生成特定类型的图和树结构是一个重要的研究方向。本文将介绍两种不同的生成算法，分别是 5 - 正则平面图的递归生成算法，以及具有特定顶点和叶子节点数量的有序树的高效枚举算法。

5 - 正则平面图的递归生成

在研究 5 - 正则平面图的生成时，通过 D 约简得到的特定配置具有独特的性质，并且只有图 D3 能约简到该配置。按照相同的推理方式，可以得到序列 D4、D5 等，从而完成相关定理的证明。

为了部分验证该定理，研究人员对表中列出的 1960 万个图（除已知的不可约图外）进行了 R - 约简操作。最初使用修改版的 plantri 程序进行这些操作时速度非常慢，但目前有了更快的算法，后续将被整合到 plantri 中。

定理 1 可以与特定方法结合，用于生成非同构的简单 5 - 正则平面图。具体方法如下：
1. 对于每个图 G，尝试从 G 的自同构群下的每个等价类扩展中进行一次扩展。
2. 如果得到的更大的图是 H，当 H 的构造扩展的逆约简在 H 的自同构群下等价于 H 的“规范”约简时，接受 H；否则拒绝 H。
3. 该算法的关键要求是计算自同构群和规范标记，这些操作可以在线性时间内完成。由于对一个图应用的约简数量显然为 O(n)，根据相关定理，每个输出图的摊销时间最多为 O(n²)。不过，实际性能可能会因使用启发式方法而有所不同，在合理的图大小范围内，每个图的摊销时间可能近似为常数。

具有 k 个叶子的有序树的高效枚举

在有序树的枚举方面，拥有特定类别的对象的完整列表非常有用，可用于寻找猜想的反例、在所有候选对象中找到最佳对象，或