17、图的共线着色：理论与算法探索

图的共线着色：理论与算法探索

1. 图论基础概念

在图论中，我们通常研究有限的无向图 (G)，它没有环和多重边。对于图 (G)，我们用 (V(G)) 表示其顶点集，(E(G)) 表示其边集。由顶点子集 (S\subseteq V(G)) 诱导的子图记为 (G[S])。

• 顶点邻域 ：
  • 顶点 (v) 的开邻域 (N(v)={u\in V(G):uv\in E(G)})，有时为了清晰表示，记为 (N_G(v))。
  • 顶点 (v) 的闭邻域 (N[v]=N(v)\cup{v})。
• 独立集与稳定数 ：图 (G) 中最大独立集的大小称为独立数或稳定数，记为 (\alpha(G))。
• 团与团数 ：图 (G) 中最大团的顶点集的基数称为团数，记为 (\omega(G))。
• 顶点着色与色数 ：图 (G) 的一个恰当顶点着色是指对其顶点进行着色，使得相邻顶点颜色不同。图 (G) 的色数 (\chi(G)) 是使得 (G) 存在一个使用 (k) 种颜色的恰当顶点着色的最小整数 (k)。对于任意图 (G)，有 (\omega(G)\leq\chi(G))。若对于任意 (A\subseteq V(G))，都有 (\omega(G_A)=\chi(G_A))，则称 (G) 为完美图。

一些常见的图类定义如下：
- 弦图 ：不包含四个或更