6、图中近似最短路径与线横截及钉扎数研究

图中近似最短路径与线横截及钉扎数研究

近似最短路径算法进展

在图论中，近似最短路径问题一直是研究的热点。对于近似距离预言机（Approximate Distance Oracle），之前已有诸多算法，但在预处理时间和空间复杂度的平衡上仍有提升空间。

3 - APASP的通用方案

对于3 - 近似所有对最短路径问题（3 - APASP），存在Thorup和Zwick的3 - 近似距离预言机算法以及Cohen和Zwick的3 - APASP算法。当需要优化时间时，Cohen - Zwick算法更受青睐；而当需要优化空间时，Thorup - Zwick算法则是更好的选择。理想情况下，人们希望有一种算法能兼具前者的最坏情况预处理时间和后者的空间要求。

Baswana和Kavitha提出了一个简单且通用的方案A(H)来解决这个问题。该方案的输入参数H是给定图顶点的k + 1个子集S0 ⊃ S1 ⊃ · · · Sk的层次结构，通过随机采样构建。对于每个集合Si，自然地定义了一个边子集ESi ⊆ E，使得Si越大，ESi越稀疏，反之亦然。该方案从Si中的每个顶点在图(V, ESi + 1)中执行Dijkstra算法。

这个层次方案简单高效，是解决APASP问题的通用且强大的技术，能为区间[2, 3]内的各种拉伸值提供改进算法：
1. 对于特定的层次结构H，当V = S0 ⊇ S1 ⊇ · · · Sk = ∅且k = log n时，方案A(H)类似于Cohen - Zwick的拉伸为3的算法。但经过更细致的分析，新方案的拉伸几乎为2，即任意一对顶点u, v ∈ V之间报告的距离至多为2δ(u, v) + wmax，其中wmax是u和v之间