2、字符串图分隔定理及其应用

字符串图分隔定理及其应用

在图论研究中，字符串图的相关性质一直是重要的研究方向。本文将围绕字符串图的分隔定理及其应用展开，介绍一系列定理的证明过程和相关结果。

基本定义和定理

• 二分宽度 ：对于图 (G = (V, E)) 和权重函数 (w)，二分宽度 (bw(G)) 是满足存在划分 (V = V_1 ∪ V_2)，使得 (w(V_1), w(V_2) ≤ \frac{2}{3}) 且 (V_1) 和 (V_2) 之间边的数量为 (bw(G)) 的最小整数。当 (w) 是“均匀”权重函数 (w(v) = \frac{1}{|V|}) 时，简记为 (b(G))。
• 拓扑图和对交叉数 ：拓扑图是在平面上绘制的图，顶点为点，边为连接这些点的曲线。图 (G) 的对交叉数 (pcr(G)) 是图 (G) 在平面绘制中相交边对的最小数量。
• Kolman 和 Matoušek 结果 ：每个具有 (n) 个顶点的图 (G) 满足 (b(G) ≤ c \log n (\sqrt{pcr(G)} + \sqrt{ssqd(G)}))，其中 (c) 是绝对常数，(ssqd(G) = \sum_{v∈V(G)} (deg(v))^2)。

定理 6 的证明

设 (G) 是具有 (n) 个顶点且最大度为 (d) 的拓扑图，假设 (G) 的每条边最多与 (D) 条其他边相交。对于任何权重函数 (w)，有 (bw(G) = O((\sqrt{dD} + d)\sqrt{n} \log n))。
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