53、莫茨金条形图外部角统计分析

莫茨金条形图外部角统计分析

在组合数学中，莫茨金条形图的外部角统计是一个有趣且具有实际意义的研究方向。本文将深入探讨如何对莫茨金条形图的外部角进行计数，并给出相应的生成函数和组合公式。

1. 基本定义与方程

首先，我们定义几个关键的函数。设 (C_i(x; p, q)) 为：
[C_i(x; p, q) := \sum_{n\geq1}x^n\sum_{w\in M_{n,i}}p^{\text{cor} {hu}(w)}q^{\text{cor} {dh}(w)}, \quad i\geq1]
这里，(M_{n,i}) 表示特定的莫茨金字集合，(\text{cor} {hu}(w)) 和 (\text{cor} {dh}(w)) 分别代表两种不同类型的外部角数量。

当 (i = 1) 时，有如下函数方程：
[C_1(x; p, q) = x + qx\sum_{j\geq2}C_j(x; p, q)]
当 (i\geq2) 时，关系如下：
[C_i(x; p, q) = pxC_{i - 1}(x; p, q) + xq\sum_{j\geq i + 1}C_j(x; p, q)]

进一步，定义 (C(x; p, q; v) = \sum_{i\geq1}C_i(x; p, q)v^{i - 1})。通过对上述方程进行一系列运算，我们可以得到：
[C(x; p, q; v) = x + (pxv - \frac{xq}{1 - v})C(x; p, q; v) + \frac{qx}{1 - v}C(x; p, q; 1)]

2. 特