3、量子物理中的计算方法与微分矩阵微积分基础

量子物理中的计算方法与微分矩阵微积分基础

1. 时间相关波函数的微扰展开

在量子物理的计算中，对于时间相关波函数的处理，会考虑到 $\tilde{V}(t_1) \tilde{V}(t_2)$ （其中 $t_2 < t_1$ ）的乘积，因为通常 $\tilde{V}(t_1) \tilde{V}(t_2) \neq \tilde{V}(t_2) \tilde{V}(t_1)$ 。若假设 $\tilde{V}(t)$ 一般表示为矩阵，在 $t_1$ 时刻记为 $V_1$ ，在 $t_2$ 时刻记为 $V_2$ ，对于矩阵有 $V_1V_2 \neq V_2V_1$ 。

我们可以重复此过程，得到时间相关波函数的 $n$ 阶展开：
$\tilde{\psi}(t) = e^{\int_{0}^{t} dt \tilde{V}(t)}^T \tilde{\psi} 0 = \left(1 + \tilde{V}^{(1)}(t, t_0) + \tilde{V}^{(2)}(t, t_0) + \cdots \right) \tilde{\psi}_0$
$V^{(n)}(t, t_0) = (-i)^n \int {t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t_0} dt_2 \cdots \int_{t_{n - 1}}^{t_0} dt_n \tilde{V}(t_1) \tilde{V}(t_2) \cdots V(t_n)$

其中，戴森时间排序算符 $e^{\int_{0}^{t} dt \tilde{V}(t)}^T$ 通过其在态 $\tilde{\psi}_0$ 上的作用来定义。当 $\tilde{V}(t)$ 的矩